Question

【題目】工人師傅用一塊長為12分米，寬為8分米的矩形鐵皮制作一個無蓋長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形．（厚度不計）

（1）請在圖中畫出裁剪示意圖，用實線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求當長方體底面面積為32平方分米時，裁掉的正方形邊長是多少？

（2）若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的5倍（長大于寬），并將容器外表面進行防銹處理，側(cè)面每平方分米的費用為0.5元，底面每平方分米的費用為2元，求裁掉的正方形邊長為多少時，總費用最低，最低費用為多少元？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形的邊長為2分米，底面積為32平方分米；（2）裁掉的正方形邊長為3.5分米時，總費用最低，最低費用為31元．

【解析】

（1）由題意可畫出圖形，設裁掉的正方形的邊長為x分米，則題意可列出方程，可求得答案；

（2）由條件可求得x的取值范圍，用x表示出總費用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，可求得答案．

（1）如圖所示：

設裁掉的正方形的邊長為x分米，由題意可得：

（12﹣2x）（8﹣2x）＝32，即x2﹣10x+16＝0，解得：x＝2或x＝8（舍去）．

答：裁掉的正方形的邊長為2分米，底面積為32平方分米；

（2）設總費用為y元，則y＝2（12﹣2x）（8﹣2x）+0.5×[2x（12﹣2x）+2x（8﹣2x）]

＝4x2﹣60x+192

＝4（x﹣7.5）2﹣33．

又∵12﹣2x≤5（8﹣2x），∴x≤3.5．

∵a＝4＞0，∴當x＜7.5時，y隨x的增大而減小，∴當x＝3.5時，y取得最小值，最小值為31．

答：裁掉的正方形邊長為3.5分米時，總費用最低，最低費用為31元．