Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與坐標軸交于三點，其中點的坐標為，點的坐標為，連接．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向點作勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向點作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設(shè)運動時間為秒．連接．

（1）填空： _________， ________；

（2）在點運動過程中，可能是直角三角形嗎?請說明理由；

（3）在軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形?若存在，請求出運動時間的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），4；（2）不可能是直角三角形，見解析；（3）存在，

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為．將代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出、的值；

（2）連結(jié)．先求得點的坐標，則，依據(jù)勾股定理可求得，，接下來，依據(jù)列方程求解即可；

（3）過點作軸，分別過點、作、，垂足分別為、，交軸與點，過點作軸，垂足為點，首先證明，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到，，然后可求得、的長，然后再證明，從而得到，，然后可求得和的長，從而可得到點的坐標，然后將點的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為．將代入得：，

，；

（2）在點、運動過程中，不可能是直角三角形．

理由如下：連結(jié)．

在點、運動過程中，、始終為銳角，

當是直角三角形時，則．

將代入拋物線的解析式得：，

．

，

，

在中，依據(jù)勾股定理得：，在中，依據(jù)勾股定理可知：，在中依據(jù)勾股定理可知：，在中，，

，即，解得：．

由題意可知：，

不合題意，即不可能是直角三角形．

（3）如圖所示：

過點作軸，分別過點、作、，垂足分別為、，交軸與點，過點作軸，垂足為點，則軸，．

軸，

，

，即，

，，

，．

，，

，

．

又，，

在△MDP和△PEQ中，

，

，，

，，

，．

點在軸下方的拋物線上，

，解得：．

，

．