Question

12．△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于D，過D作⊙O的切線DE交AB于E，求證：
（1）DE⊥AB
（2）CD²=EB•AB．

Answer 1

分析 （1）連接OD．由等腰三角形的性質得出∴∠B=∠ODC，求出OD∥AB，再由切線的性質得出DE⊥AB，即可得出結論；
（2）連接AD，由等腰三角形的性質得出BD=CD，證明△BDE∽△BAD，得出對應邊成比例，即可得出結論．

解答 證明：（1）連接OD，如圖1所示：
∵AB=AC，OD=OC，
∴∠B=∠C，∠ODC=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AB；
（2）連接AD，如圖2所示：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ADB，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD：AB=EB：BD，
∴BD²=EB•AB，
∴CD²=EB•AB．

點評 本題主要考查的是圓周角定理、切線的性質、等腰三角形的性質和判定、三角形的內角和定理，掌握此類問題的輔助線的作法是解題的關鍵．