Question

在8×8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底，且腰長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的等腰三角形．

小題1:填空：C點(diǎn)的坐標(biāo)是　▲　，△ABC的面積是　▲　
小題2:將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到△A₁B₁C₁，連接AB₁、BA₁，試判斷四邊形AB₁A₁B是何種特殊四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
小題3:請(qǐng)?zhí)骄浚涸趚軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不必寫出解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

小題1:（1，1），4； (2分)
小題2:四邊形AB₁A₁B是矩形．

∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四邊形AB₁A₁B是矩形（2分）
小題3:易得四邊形ABOP的面積等于8．同（1）中的方法得到三點(diǎn)A，B，O構(gòu)成的面積為6．當(dāng)P在O左邊時(shí)，△APO的面積應(yīng)為2，高為4，那么底邊長(zhǎng)為1，所以P（-1，0）；
當(dāng)P在O右邊時(shí)，△BOP的面積應(yīng)為2，高為2，所以底邊長(zhǎng)為2，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，0）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），（-1，0）．（2分）

（1）此點(diǎn)應(yīng)在AB的垂直平分線上，在第一象限，腰長(zhǎng)又是無(wú)理數(shù)，只有是點(diǎn)（1，1），從A，B向x軸引垂線，把所求的三角形的面積分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形的面積減去一個(gè)直角三角形的面積．
（2）旋轉(zhuǎn)180°后可得新四邊形的對(duì)角線互相平分，那么先判斷是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到對(duì)角線相等，那么所求的四邊形是矩形．
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合（1）中的方法解答．