Question

【題目】已知：拋物線C1：y=x2 ． 如圖（1），平移拋物線C1得到拋物線C2 ， C2經(jīng)過C1的頂點(diǎn)O和A（2，0），C2的對稱軸分別交C1、C2于點(diǎn)B、D．

（1）求拋物線C2的解析式；
（2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結(jié)論；
（3）如圖（2），將拋物線C2向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C3 ， C3的頂點(diǎn)為G，與y軸交于M．點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P（﹣ m， m）在直線MG上．問：當(dāng)m為何值時，在拋物線C3上存在點(diǎn)Q，使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線C2經(jīng)過C1的頂點(diǎn)O，

∴設(shè)拋物線C2的解析式為y=x2+bx，

∵C2經(jīng)過A（2，0），

∴4+2b=0，

解得：b=﹣2，

∴求拋物線C2的解析式為y=x2﹣2x；

（2）

解：∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

∴拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，﹣1），

當(dāng)x=1時，y=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），

∴根據(jù)勾股定理得：OB=AB=OD=AD= ，

∴四邊形ODAB是菱形，

又∵OA=BD=2，

∴四邊形ODAB是正方形；

（3）

解：∵拋物線C2向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C3，

∴拋物線C3的解析式為y=（x﹣1）2﹣1﹣m，

在y=（x﹣1）2﹣1﹣m中，令x=0，得y=﹣m，

∴M（0，﹣m），

∵點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，

∴N（0，m），

∴MN=2m，

當(dāng)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：

①若MN是平行四邊形的一條邊，

由MN=PQ=2m和點(diǎn)P（﹣ m， m）得Q（﹣ m， m），

∵點(diǎn)Q在拋物線C3上，

∴ m=（﹣ m﹣1）2﹣1﹣m，

解得：m= 或m=0（舍去），

②若MN是平行四邊形的一條對角線，由平行四邊形的中心對稱得Q（ m，﹣ m）

∵點(diǎn)Q在拋物線C3上，

∴﹣ m=（ m﹣1）2﹣1﹣m，解得：m= 或m=0（舍去）

綜上所述，當(dāng)m= 或 時，

在拋物線C3上存在點(diǎn)Q，使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

【解析】（1）設(shè)設(shè)拋物線C2的解析式為y=x2+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；（2）四邊形ODAB的形狀為正方形，求出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，﹣1）和B的坐標(biāo)為（1，1）進(jìn)而證明四邊形ODAB為菱形，再證明是正方形即可；（3）當(dāng)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：①若MN是平行四邊形的一條邊②若MN是平行四邊形的一條對角線，在分別討論求出滿足題意的m值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．