【題目】如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)、B(0, )兩點(diǎn),∠BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D.點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn),以AC為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)D,且與x軸交于另一點(diǎn)E.
(1)求證:y軸是⊙G的切線;
(2)請(qǐng)求⊙G的半徑r,并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)F為⊙G上的一點(diǎn),連接AF,且滿足∠FEA=45°,請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)?

【答案】
(1)解:連接GD,

∵∠OAB的角平分線交y軸于點(diǎn)D,

∴∠GAD=∠DAO,

∵GD=GA,

∴∠GDA=∠GAD,

∴∠GDA=∠DAO,

∴GD∥OA,

∴∠BDG=∠BOA=90°,

∵GD為半徑,

∴y軸是⊙G的切線;


(2)解:∵A(4,0),B(0, ),

∴OA=4,OB=

在Rt△AOB中,由勾股定理可得:AB= ,

設(shè)半徑GD=r,則BG= ﹣r,

∵GD∥OA,

∴△BDG∽△BOA,

= ,

r=4( ﹣r),

∴r= ;

∴C的坐標(biāo)為(1,4)


(3)解:過點(diǎn)A作AH⊥EF于H,連接CE、CF,

∵AC是直徑,

∴AC=2× =5

∴∠AEC=∠AFC=90°

∵∠FEA=45°

∴∠FCA=45°

∴在Rt△AEH中,

由勾股定理可知:AF=CF= ,

設(shè)OE=a

∴AE=4﹣a

∵CE∥OB

∴△ACE∽△ABO

=

∴CE=

∵CE2+AE2=AC2,

(4﹣a)2+(4﹣a)2=25

∴a=1或a=7(不合題意,舍去)

∴AE=3

∴在Rt△AEH中,

由勾股定理可得,AH=EH= ,

∴在Rt△AEH中,

由勾股定理可知:FH2=AF2﹣AH2= =8,

∴FH=2

∴EF=EH+FH=


【解析】(1)要證明y軸是⊙G的切線,只需要連接GD后證明GD⊥OB即可.(2)由(1)可知GD∥OA,則△BDG∽△BOA,設(shè)半徑為r后,利用對(duì)應(yīng)邊的比相等列方程即可求出半徑r的值.(3)由于∠FEA=45°,所以可以連接CE、CF構(gòu)造直角三角形.由于要求的EF是弦,所以過點(diǎn)A作AH⊥EF,然后利用垂徑定理即可求出EF的長(zhǎng)度.

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(1)設(shè)“潛力三角形”較短直角邊長(zhǎng)為a,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你直接寫出 的值為;
(2)若∠AED=∠DCB,求證:△BDF是“潛力三角形”;
(3)若△BDF是“潛力三角形”,且BF=1,求線段AC的長(zhǎng).

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A.15
B.30
C.45
D.60

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(2)設(shè)某戶月用水量為n 立方米當(dāng)n>20時(shí),則該用戶應(yīng)繳納的水費(fèi)________元(用含a、n的整式表示);

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(1)(﹣6)÷|﹣|﹣(﹣1)3×(﹣7)

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(2)探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結(jié)論;
(3)如圖(2),將拋物線C2向m個(gè)單位下平移(m>0)得拋物線C3 , C3的頂點(diǎn)為G,與y軸交于M.點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)P(﹣ m, m)在直線MG上.問:當(dāng)m為何值時(shí),在拋物線C3上存在點(diǎn)Q,使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?

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