Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn),點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)的值最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的最小值；

（3）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn),使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說出理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在在點(diǎn)使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；其坐標(biāo)是： 或或.

【解析】

（1）聯(lián)立兩直線解析式組成方程組，解得即可得出結(jié)論；

（2）先確定出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系數(shù)法求出直線A'C的解析式即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論.

（1）根據(jù)題意聯(lián)立 解得 ∴.

（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接交 軸于點(diǎn),點(diǎn)就是所求作的的值最小的點(diǎn)，

設(shè) 所在的直線為，

由題意可列：，

解得：，

∴直線 的解析式為，

令，則，

∴，

由點(diǎn)可求的最小值為： ,

（3）存在點(diǎn),使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

如圖，作△ ,使△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是其三邊的中點(diǎn)，

設(shè)，則，

解得，

∴，

同理，

∵，

∴ 在第一、三象限的角平分線上，且，

∴ ，

綜上所述，存在在點(diǎn)使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；其坐標(biāo)是：或或.