Question

20．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，且EC⊥BC，EC=BD，DF=FE
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）若AF=5，求△ADE的面積．

Answer 1

分析 （1）證出∠B=∠ACE，由SAS證明三角形全等即可；
（2）利用（1）的結(jié)論△ABD≌△ACE得出AD=AE，∩BAD=∩CAE，證出∠ADE是直角三角形，在等腰三角形ADE中，又因?yàn)镈F=EF，所以可利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得出結(jié)論AF⊥DE，求出DE=2AF=10，即可得出△ADE的面積．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠BCA=45°．
又∵EC⊥BC，
∴∠ACE=90°-45°=45°．
∴∠B=∠ACE．
在△ABD與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACE}&{\;}\\{DB=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：由（1）知△ABD≌△ACE，
∴AD=AE．∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
等腰△ADE中，DF=EF，
∴AF⊥DE，DE=2DF=10，
∴△ADE的面積=$\frac{1}{2}$DE•AF=$\frac{1}{2}$×10×5=25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形全等的問題要找準(zhǔn)三角形中現(xiàn)有的條件然后找需要的條件，根據(jù)所給出的已知條件結(jié)合圖形得出所需條件．等腰三角形中三線合一是非常重要的．注意應(yīng)用．