Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，…，如此作下去，則△B2015A2016B2016的頂點(diǎn)A2016的坐標(biāo)是 ．

Answer 1

【答案】（4031，﹣ ）
【解析】解：∵△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴A1的坐標(biāo)為（1， ），B1的坐標(biāo)為（2，0），
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣ =﹣ ，
∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（3，﹣ ），
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣ ）= ，
∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是（5， ），
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣ =﹣ ，
∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是（7，﹣ ），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的橫坐標(biāo)是2n﹣1，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是 ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是﹣ ，
∴△B2015A2016B2016的頂點(diǎn)A2016的坐標(biāo)是（4031，﹣ ），
故答案為：（4031，﹣ ）．
首先根據(jù)△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1， ），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2016的坐標(biāo)是多少即可．