【題目】已知如圖,矩形OABC的長OA=,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC.
(1)求∠PCB的度數(shù);
(2)若P,A兩點(diǎn)在拋物線y=﹣x2+bx+c上,求b,c的值,并說明點(diǎn)C在此拋物線上;
(3)(2)中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D,與x軸相交于另外一點(diǎn)E,若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn),N是y軸上的點(diǎn),以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).
【答案】
【1】 ∠PCB=30°
【2】 點(diǎn)C(0,1)滿足上述函數(shù)關(guān)系式,所以點(diǎn)C在拋物線上.
【3】 Ⅰ、若DE是平行四邊形的對角線,點(diǎn)C在y軸上,CD平行x軸,
∴過點(diǎn)D作DM∥ CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形,
把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,1)
把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0)
∴M(,0);N點(diǎn)即為C點(diǎn),坐標(biāo)是(0,1); ……9分
Ⅱ、若DE是平行四邊形的邊,
則DE=2,∠DEF=30°,
過點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N,四邊形DANE是平行四邊形,
∴M(,0),N(0,-1); ……11分
同理過點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N,四邊形CMDE是平行四邊形,
∴M(,0),N(0, 1). ……12分
【解析】
(1)根據(jù)OC、OA的長,可求得∠OCA=∠ACP=60°(折疊的性質(zhì)),∠BCA=∠OAC=30°,由此可判斷出∠PCB的度數(shù).
(2)過P作PQ⊥OA于Q,在Rt△PAQ中,易知PA=OA=3,而∠PAO=2∠PAC=60°,即可求出AQ、PQ的長,進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),將P、A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可得到b、c的值,從而確定拋物線的解析式,然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可.
(3)根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo),然后分兩種情況考慮:
①DE是平行四邊形的對角線,由于CD∥x軸,且C在y軸上,若過D作直線CE的平行線,那么此直線與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn),而N點(diǎn)即為C點(diǎn),D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo),而C點(diǎn)坐標(biāo)已知,即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo);
②DE是平行四邊形的邊,由于A在x軸上,過A作DE的平行線,與y軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn),而M點(diǎn)即為A點(diǎn);易求得∠DEA的度數(shù),即可得到∠NAO的度數(shù),已知OA的長,通過解直角三角形可求得ON的值,從而確定N點(diǎn)的坐標(biāo),而M點(diǎn)與A點(diǎn)重合,其坐標(biāo)已知;
同理,由于C在y軸上,且CD∥x軸,過C作DE的平行線,也可找到符合條件的M、N點(diǎn),解法同上.
解:(1)在Rt△OAC中,OA=,OC=1,則∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根據(jù)折疊的性質(zhì)知:OA=AP=,∠ACO=∠ACP=60°;
∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.
(2)過P作PQ⊥OA于Q;
Rt△PAQ中,∠PAQ=60°,AP=;
∴OQ=AQ=,PQ=,
所以P(,);
將P、A代入拋物線的解析式中,得:
,
解得;
即y=-x2+x+1;
當(dāng)x=0時(shí),y=1,故C(0,1)在拋物線的圖象上.
(3)①若DE是平行四邊形的對角線,點(diǎn)C在y軸上,CD平行x軸,
∴過點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形,
把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,1)
把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-,0)
∴M(,0);N點(diǎn)即為C點(diǎn),坐標(biāo)是(0,1);
②若DE是平行四邊形的邊,
過點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N,四邊形DANE是平行四邊形,
∴DE=AN===2,
∵tan∠EAN==,
∴∠EAN=30°,
∵∠DEA=∠EAN,
∴∠DEA=30°,
∴M(,0),N(0,-1);
同理過點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N,四邊形CMDE是平行四邊形,
∴M(-,0),N(0,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0兩根為x1,x2,x2+x1=﹣,x2.x1=.如果拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(1,2),若abc=4,且a≥b≥c,則|a|+|b|+|c|的最小值為( 。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸相交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.
①求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:y=﹣x(x﹣5)(0≤x≤5),記為C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1;將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點(diǎn)A2;將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點(diǎn)A3;…如此進(jìn)行下去,得到一“波浪線”,若點(diǎn)P(2018,m)在此“波浪線”上,則m的值為( )
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(﹣3,0),對稱軸為直線x=﹣1,給出以下結(jié)論:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1>y2⑤當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí),y≥0,
其中正確的結(jié)論是(填寫代表正確結(jié)論的序號(hào))__________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(0,2),以P為圓心,OP為半徑的半圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是C,一次函數(shù)y=﹣x+m(m為實(shí)數(shù))的圖象為直線l,l分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),如圖1.
(1)B點(diǎn)坐標(biāo)是 (用含m的代數(shù)式表示),∠ABO= °;
(2)若點(diǎn)N是直線AB與半圓CO的一個(gè)公共點(diǎn)(兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),N為右側(cè)一點(diǎn)),過點(diǎn)N作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E,如圖2.
①是否存在這樣的m的值,使得△EBN是直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
②當(dāng)時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小清為班級辦黑板報(bào)時(shí)遇到一個(gè)難題,在版面設(shè)計(jì)過程中需要將一個(gè)半圓三等分,小華幫他設(shè)計(jì)了一個(gè)尺規(guī)作圖的方法.
小華的作法如下:
(1)作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)O;
(2)分別,以A、B為圓心,以AO(或BO)的長為半徑畫弧,分別交半圓于點(diǎn)M、N;
(3)連接OM、ON即可
請根據(jù)該同學(xué)的作圖方法完成以下推理:
∵半圓AB
∴ 是直徑.
∵CD是線段AB的垂直平分線
∴OA=OB(依據(jù): )
∵OA=OM=
∴△OAM為等邊三角形(依據(jù): )
∴∠AOM=60°(依據(jù): )
同理可得∠BON=60°
∠AOM=∠BON=∠MON=60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店從廠家以21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品,該商品可以自行定價(jià),若每件商品售價(jià)為元,則可賣出(350-10)件,但物價(jià)局限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的20%,商店計(jì)劃要賺400元,需要賣出多少件商品?每件商品應(yīng)售多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,點(diǎn)M為對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)A,C重合),過點(diǎn)M作ME⊥AD,MF⊥DC,垂足分別為E,F(xiàn),則四邊形EMFD面積的最大值為( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
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