Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸相交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD．

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②判斷四邊形ADBC的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）在該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△BMP與△BAD相似？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣2），②四邊形ADBC為矩形，理由見(jiàn)解析；（3）在該拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△BMP與△BAD相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．①過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OA=EB、OC=ED，結(jié)合點(diǎn)A、B、O、C的坐標(biāo)，即可找出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得出OA、OC、OB的長(zhǎng)度，利用勾股定理可求出AC、BC的長(zhǎng)，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可找出四邊形ADBC為矩形；

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，m），由點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)可得出∠BPD=∠ADB=90°，分△PMB∽△BDA及△BMP∽△BDA兩種情況考慮，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的含絕對(duì)值的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）將A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+x+2＝2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

①過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1所示．

∵將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD，

∴OA＝EB，OC＝ED．

∵A（﹣1，0），O（0，0），C（0，2），B（4，0），

∴BE＝1，DE＝2，OE＝3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣2）．

②四邊形ADBC為矩形，理由如下：

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，

∴AC＝，BC＝．

∵AC2+BC2＝25＝AB2，

∴∠ACB＝90°．

∵將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD，

∴∠ABC＝∠BAD，BC＝AD，

∴BC∥AD且BC＝AD，

∴四邊形ADBC為平行四邊形．

又∵∠ACB＝90°，

∴四邊形ADBC為矩形．

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，m）．

∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

∴∠BPD＝∠ADB＝90°，

∴有兩種情況（如圖2所示）．

①當(dāng)△PMB∽△BDA時(shí)，有，即，

解得：m＝±，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；

②當(dāng)△BMP∽△BDA時(shí)，有，即，

解得：m＝±5，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，5）或（，﹣5）．

綜上所述：在該拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△BMP與△BAD相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．