【題目】如圖,在中,,是邊上任意一點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)、不重合),以為一直角邊在的外部作,,連接,.
(1)在圖中,若,,現(xiàn)將圖中的繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)銳角,得到圖,那么線段,之間有怎樣的關(guān)系,寫出結(jié)論,并說明理由;
(2)在圖中,若,,,,現(xiàn)將圖中的繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)銳角,得到圖,連接、.
①求證:;
②計(jì)算:的值.
【答案】(1)BE=CD,BE⊥CD;理由見解析;(2)①證明見解析;②170.
【解析】
(1)結(jié)論:BE=CD,BE⊥CD;只要證明△ABE≌△ACD,即可解決問題;
(2)①根據(jù)兩邊成比例夾角相等即可證明△BAE∽△CAD;
②由①得到∠BEA=∠CDA,再根據(jù)等量代換得到∠EGD=90°,即DG⊥BE,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
(1)BE=CD,BE⊥CD
理由:如圖,設(shè)CD與BE、AE分別交于點(diǎn)G、F.
∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE
即∠BAE=∠CAD
又∵AB=AC,AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)∴BE=CD,∠ADC=∠AEB
∵∠EAD=90°,∴∠ADC+∠AFD=90°,
又∵∠ADC=∠AEB,∠AFD=∠EFG
∴∠AEB+∠EFG=90°,
∴∠EGF=90°
∴BE⊥CD
(2)①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD
∵AB=5,AC=3,AE=10,AD=6
∴,,∴
∴△BAE∽△CAD
②如圖,延長DC交BE于點(diǎn)G
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
在Rt△ADE中,∠ADE+∠AED=90°
∴∠CDA+∠CDE+∠AED=90°
∴∠BEA+∠AED+∠CDE=90°
∴∠EGD=90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)分別作軸軸平行線分別交直線于點(diǎn)和點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,請用含的代數(shù)式表示的周長,并求出當(dāng)的周長取得最大值(不需要求出此最大值)時點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),在第二問的周長取得最大值的條件下,請直接寫出使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前“微信”、“支付寶”、“共享單車“和“網(wǎng)購”給我們的生活帶來了很多便利,九年級數(shù)學(xué)興趣小組在校內(nèi)對“你最認(rèn)可的四大新生事物”進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了m人(每名學(xué)生必選一種且只能從這四種中選擇一種),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)根據(jù)圖中信息求出m= ,n= ;
(2)請你幫助他們將這兩個統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全;
(3)已知A、B兩位同學(xué)都最認(rèn)可“微信”,C同學(xué)最認(rèn)可“支付寶”,D同學(xué)最認(rèn)可“網(wǎng)購”,從這四名同學(xué)中抽取兩名同學(xué),請你通過樹狀圖或表格,求出這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】仙桃是遂寧市某地的特色時令水果.仙桃一上市,水果店的老板用2400元購進(jìn)一批仙桃,很快售完;老板又用3700元購進(jìn)第二批仙桃,所購件數(shù)是第一批的倍,但進(jìn)價比第一批每件多了5元.
(1)第一批仙桃每件進(jìn)價是多少元?
(2)老板以每件225元的價格銷售第二批仙桃,售出80%后,為了盡快售完,剩下的決定打折促銷.要使得第二批仙桃的銷售利潤不少于440元,剩余的仙桃每件售價至少打幾折?(利潤=售價﹣進(jìn)價)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn),,,連接,得到四邊形.點(diǎn)在邊上,連接,將邊沿折疊,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),若點(diǎn)到四邊形較長兩對邊的距離之比為.則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C、D在線段AB上,△PCD是等邊三角形,且CD2=ADBC.
(1)求證:△APD∽△PBC;
(2)求∠APB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C,與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,已知A點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),BE=2.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接OA、OB,求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課上,學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律:
如圖①,當(dāng)四邊形是矩形時,的直角頂點(diǎn)M在邊上運(yùn)動,直角邊分別與線段、線段交于E、F兩點(diǎn),在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中,始終存在著.于是又有同學(xué)提出了問題,如果將四邊形換成三角形時,是否仍存在同樣的規(guī)律呢?如圖②,在中,,點(diǎn)D為邊上的動點(diǎn),過點(diǎn)D作,交于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,請問是否存在兩個相似的三角形,若存在,請證明;若不存在,請說明理由;
(2)結(jié)合上述規(guī)律,解決下列問題:
如圖③,在中,,,點(diǎn)P為上一點(diǎn)(不與B、C重合),過點(diǎn)P作于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,若為等腰三角形,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線(a<0)與x軸交于A(3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸是直線x=1,D為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方,且CE=.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求證:直線DE是△ACD外接圓的切線;
(3)在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P,使,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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