【題目】如圖,已知直線l經(jīng)過點A(1,0),與雙曲線y= (x>0)交于點B(2,1).過點P(p,p﹣1)(p>1)作x軸的平行線分別交雙曲線y= (x>0)和y=﹣ (x<0)于點M、N.
(1)求m的值和直線l的解析式;
(2)若點P在直線y=2上,求證:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在實數(shù)p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,請求出所有滿足條件的p的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵B(2,1)在雙曲線y= (x>0)上,
∴m=2,
設直線l的解析式為y=kx+b,
則 ,
解得 ,
∴直線l的解析式為y=x﹣1
(2)證明:∵點P(p,p﹣1)(p>1),點P在直線y=2上,
∴p﹣1=2,
解得p=3,
∴P(3,2),
∴PM=2,PN=4,PA=2 ,PB= ,
∵∠BPM=∠APN,PM:PN=PB:PA=1:2,
∴△PMB∽△PNA
(3)解:存在實數(shù)p,使得S△AMN=4S△AMP.
∵P(p,p﹣1)(p>1),
∴點M、N的縱坐標都為p﹣1,
將y=p﹣1代入y= 和y=﹣ ,
得x= 和x=﹣ ,
∴M、N的坐標分別為( ,p﹣1),(﹣ ,p﹣1),
①當1<p<2時,
MN= ,PM= ﹣p,
∵S△AMN= MN×(p﹣1)=2,S△AMP= MP×(p﹣1)=﹣ p2+ p+1,
S△AMN=4S△AMP,
∴2=4×(﹣ p2+ p+1),
整理,得p2﹣p﹣1=0,
解得:p= ,
∵1<p<2,
∴p= ,
②當p>2時,
MN= ,PM=p﹣ ,
∵S△AMN= MN×(p﹣1)=2,S△AMP= MP×(p﹣1)= p2﹣ p﹣1,
S△AMN=4S△AMP,
∴2=4×( p2﹣ p﹣1),
整理,得p2﹣p﹣3=0,解得p= ,
∵p大于2,
∴p= ,
∴存在實數(shù)p= 或 使得S△AMN=4S△AMP.
【解析】(1)將點B的坐標代入即可得出m的值,設直線l的解析式為y=kx+b,再把點A、B的坐標代入,解方程組求得k和b即可得出直線l的解析式;(2)根據(jù)點P在直線y=2上,求出點P的坐標,再證明△PMB∽△PNA即可;(3)先假設存在,利用S△AMN=4S△AMP . 求得p的值,看是否符合要求.
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣ x2﹣x+ .
(1)在給定的直角坐標系中,畫出這個函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)圖象,寫出當y<0時,x的取值范圍;
(3)若將此圖象沿x軸向右平移3個單位,請寫出平移后圖象所對應的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】如圖,平面內(nèi)4條直線l1、l2、l3、l4是一組平行線,相鄰2條平行線的距離都是1個單位長度,正方形ABCD的4個頂點A、B、C、D都在這些平行線上,其中點A、C分別在直線l1、l4上,該正方形的面積是平方單位.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分線OD交AB于點O,交AC于點D,連接BD.下列結(jié)論錯誤的是( )
A. ∠C=2∠A B. BD平分∠ABC C. S△BCD=S△BOD D. 點D為線段AC的黃金分割點
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【題目】如圖,三個半圓依次相外切,它們的圓心都在x軸上,并與直線y= x相切.設三個半圓的半徑依次為r1、r2、r3 , 則當r1=1時,r3= .
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【題目】在社區(qū)全民健身活動中,父子倆參加跳繩比賽.相同時間內(nèi)父親跳180個,兒子跳210個.已知兒子每分鐘比父親多跳20個,父親、兒子每分鐘各跳多少個?
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【題目】從3名男生和2名女生中隨機抽取2014年南京青奧會志愿者.求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是女生;
(2)抽取2名,恰好是1名男生和1名女生.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,E在BA的延長線上,AD平分∠CAE.
(1)求證:AD∥BC;
(2)過點C作CG⊥AD于點F,交AE于點G,若AF=4,求BC的長.
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