【題目】如圖,已知直線l經(jīng)過點A(1,0),與雙曲線y= (x>0)交于點B(2,1).過點P(p,p﹣1)(p>1)作x軸的平行線分別交雙曲線y= (x>0)和y=﹣ (x<0)于點M、N.
(1)求m的值和直線l的解析式;
(2)若點P在直線y=2上,求證:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在實數(shù)p,使得SAMN=4SAMP?若存在,請求出所有滿足條件的p的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵B(2,1)在雙曲線y= (x>0)上,

∴m=2,

設直線l的解析式為y=kx+b,

,

解得 ,

∴直線l的解析式為y=x﹣1


(2)證明:∵點P(p,p﹣1)(p>1),點P在直線y=2上,

∴p﹣1=2,

解得p=3,

∴P(3,2),

∴PM=2,PN=4,PA=2 ,PB= ,

∵∠BPM=∠APN,PM:PN=PB:PA=1:2,

∴△PMB∽△PNA


(3)解:存在實數(shù)p,使得SAMN=4SAMP

∵P(p,p﹣1)(p>1),

∴點M、N的縱坐標都為p﹣1,

將y=p﹣1代入y= 和y=﹣ ,

得x= 和x=﹣

∴M、N的坐標分別為( ,p﹣1),(﹣ ,p﹣1),

①當1<p<2時,

MN= ,PM= ﹣p,

∵SAMN= MN×(p﹣1)=2,SAMP= MP×(p﹣1)=﹣ p2+ p+1,

SAMN=4SAMP,

∴2=4×(﹣ p2+ p+1),

整理,得p2﹣p﹣1=0,

解得:p= ,

∵1<p<2,

∴p= ,

②當p>2時,

MN= ,PM=p﹣

∵SAMN= MN×(p﹣1)=2,SAMP= MP×(p﹣1)= p2 p﹣1,

SAMN=4SAMP,

∴2=4×( p2 p﹣1),

整理,得p2﹣p﹣3=0,解得p= ,

∵p大于2,

∴p= ,

∴存在實數(shù)p= 使得SAMN=4SAMP


【解析】(1)將點B的坐標代入即可得出m的值,設直線l的解析式為y=kx+b,再把點A、B的坐標代入,解方程組求得k和b即可得出直線l的解析式;(2)根據(jù)點P在直線y=2上,求出點P的坐標,再證明△PMB∽△PNA即可;(3)先假設存在,利用SAMN=4SAMP . 求得p的值,看是否符合要求.
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

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