Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

（1）如圖1，求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P是第一象限拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PK∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)N，連接AN、EN、AC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，四邊形ACEN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F是PC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作PC的垂線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)F平行于x軸的直線(xiàn)交于點(diǎn)H，KH＝CP，點(diǎn)Q為第一象限內(nèi)直線(xiàn)KP下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接KQ交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)M是KP上一點(diǎn)，連接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）S＝t2+t；（3）Q（，）．

【解析】

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；

（2）tan∠PCH＝＝＝，求出OE＝，利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解；

（3）證明△CNP≌△KRH，求出點(diǎn)P（4，5）確定tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，最后計(jì)算KT＝MT＝（），FT＝4﹣（+），tan∠MFT＝＝4﹣m，即可求解．

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸交于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（t，t2﹣2t﹣3），

CN＝t2﹣2t﹣3+3＝t2﹣2t，

∴tan∠PCH＝＝＝，

，解得：OE＝，

S＝S△NCE+S△NAC＝AE×CN＝t2+t；

（3）過(guò)點(diǎn)K作KR⊥FH于點(diǎn)R，

∵KH＝CP，∠NCP＝∠H，∠R＝∠PNC＝90°，

∴△CNP≌△KRH，∴PN＝KR＝NS，

∵點(diǎn)F是PC中點(diǎn)，SF∥NP，

∴PN＝KR＝NS＝CN，即t＝（t2﹣2t﹣3+3），

解得：t＝0或4（舍去0），點(diǎn)P（4，5），

點(diǎn)K、P時(shí)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故點(diǎn)K（﹣2，5），

∵OE∥PN，則，故OE＝，同理AE＝，

設(shè)點(diǎn)Q（m，m2﹣2m﹣3），過(guò)點(diǎn)Q作WQ⊥KP于點(diǎn)W，

WQ＝5﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+8，WK＝m+2，

tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，

則NG＝8﹣2m，

MP＝AE+GN＝（8﹣2m）＝﹣m+，

KM＝KP﹣MP＝，

過(guò)點(diǎn)F作FL⊥KP于點(diǎn)L，點(diǎn)F（2，1），

則FL＝LK＝4，則∠LKF＝45°，

∵∠MFK＝∠PKQ，

tan∠MFK＝tan∠QKP＝4﹣m，

過(guò)點(diǎn)M作MT⊥FK于點(diǎn)T，則KT＝MT＝（），

FT＝4﹣（），

tan∠MFT＝＝4﹣m，

解得：m＝11或（舍去11），

故點(diǎn)Q（，）．