Question

3．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”．
性質：“朋友三角形”的面積相等．
如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的中線．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
應用：如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，點E在BC上，點F在AD上，BE=AF，AE與BF交于點O．
（1）求證：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）連接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四邊形CDOE的面積．
拓展：如圖3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，則△ABC的面積是8或8$\sqrt{3}$（請直接寫出答案）．

Answer 1

分析 應用：（1）由AAS證明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中線，即可得出結論；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE和梯形ABCD的面積的面積，根據S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
拓展：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠OAF=∠OEB，
在△AOF和△EOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OEB}&{\;}\\{∠AOF=∠EOB}&{\;}\\{AF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OF=OB，
則AO是△ABF的中線．
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴S_△AOF=S_△DOF，
∵△AOF≌△EOB，
∴S_△AOB=S_△EOB，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴S_△AOB=S_△AOF，
∴S_△AOF=S_△DOF=S_△AOB=S_△EOB，=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∴四邊形CDOE 的面積=S_梯形ABCD-2S_△ABE=$\frac{1}{2}$×（4+6）×4-2×4=12；
拓展：解：分為兩種情況：①如圖1所示：
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四邊形A′DCB是平行四邊形，
∴BC=A′D=4，
過B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
②如圖2所示：
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四邊形A′BDC是平行四邊形，
∴A′C=BD=4，
過C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$A′C=2，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×$\frac{1}{2}$×A′D×CQ=2×$\frac{1}{2}$×4×2=8；
即△ABC的面積是8或8$\sqrt{3}$；
故答案為：8或8$\sqrt{3}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了平行四邊形性質和判定，三角形的面積，勾股定理的應用，解這個題的關鍵是能根據已知題意和所學的定理進行推理．題目比較好，但是有一定的難度．