Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角形APQ．當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B．
（1）求點B的坐標，并寫出經過A，B兩點且對稱軸是y軸的拋物線的解析式；
（2）當點P在x軸上運動（P不與原點O重合）時，∠ABQ是否發(fā)生改變，若改變，請說明理由；若不改變，請求出∠ABQ的大��；
（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點T為平面直角坐標系內一點，且△TOA，△TOB，△TAB均為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的T點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作輔助線過點B作BC⊥y軸于點C，根據(jù)等邊三角形的性質即可求出點B的坐標，
（2）根據(jù)∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB總成立，得出當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°，
（3）根據(jù)點P在x的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質即可得出結果．
（4）若點T為平面直角坐標系內一點，且△TOA，△TOB，△TAB均為等腰三角形，則T在OA、OB、OC的垂直平分線上，如圖4所示，然后通過解直角三角形即可求得T的坐標．

解答 解：（1）過點B作BC⊥y軸于點C，如圖1，
∵A（0，2），△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，OC=AC=1，即B（$\sqrt{3}，1$）；
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+2；
（2）不改變．
如圖2，當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$
∴△APO≌△AQB，
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°．
（3）由（2）可知，點Q總在過點B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行．
①當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，如圖2，
此時，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當AB∥OQ時，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=$\sqrt{3}$，
∴此時P的坐標為（-$\sqrt{3}$，0）．
②當點P在x軸正半軸上時，點Q在B的上方，如圖3，
此時，若AQ∥OB，四邊形AOBQ即是梯形，
當AQ∥OB時，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2$\sqrt{3}$，
∴此時P的坐標為（2$\sqrt{3}$，0）．
綜上，P的坐標為（-$\sqrt{3}$，0）或（2$\sqrt{3}$，0）．
（4）若點T為平面直角坐標系內一點，且△TOA，△TOB，△TAB均為等腰三角形，則T在OA、OB、OC的垂直平分線上，如圖4所示，
∵A（0，2），（$\sqrt{3}$，1），
∴T₁（$\sqrt{3}$-2，1），T₂（1，2-$\sqrt{3}$），T₃（1，$\sqrt{3}$），T₄（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故T點的坐標為（$\sqrt{3}$-2，1）或（1，2-$\sqrt{3}$）或（1，$\sqrt{3}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、梯形的判定和性質以及全等三角形的判定及性質，難度適中．