【題目】有兩張相同的矩形紙片ABCDA′B′C′D′,其中AB=3,BC=8.

(1)若將其中一張矩形紙片ABCD沿著BD折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)E處(如圖1),設(shè)DEBC相交于點(diǎn)F,求BF的長(zhǎng);

(2)若將這兩張矩形紙片交叉疊放(如圖2),判斷四邊形MNPQ的形狀,并證明.四邊形MNPQ的最大面積是_________.(直接寫(xiě)出結(jié)果)

【答案】①BF=

【解析】試題分析:

(1)由折疊的性質(zhì)結(jié)合AD∥BC易得∠FBD=∠ADB=∠FDB,由此可得BF=DF,設(shè)BF=x,結(jié)合DE=AD=BC=8,可得EF=8-x,結(jié)合BE=AB=3,在Rt△BEF中由勾股定理建立方程即可求得BF的值;

(2)①如圖3,過(guò)點(diǎn)QQE⊥PN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)N過(guò)NF⊥PQ于點(diǎn)F,則易證△QEP≌△NFP,從而可得PQ=PN,由已知條件易證四邊形MNPQ是平行四邊形,兩者結(jié)合即可得到四邊形MNPQ是菱形;

如圖4,由題意可知,菱形MNPQ邊上的高是3,故當(dāng)邊長(zhǎng)越長(zhǎng)時(shí),面積越大,由題意可知,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合、點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),邊長(zhǎng)MQ=AQ=QC,此時(shí)面積最大,Rt△ABQ中,由勾股定理建立方程解出MQ的長(zhǎng),即可求得最大面積了.

試題解析

(1)∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BCAD=BC=8,

∴∠ADB=∠DBC

由折疊的性質(zhì)可知,∠ADB=∠FDBBE=AB=3,DE=AD=8,

∴∠DBC=∠FDB,

∴BF=DF,

設(shè)BF=x,則DF=x,

∴EF=8-x,

Rt△BEF中,BF2=BE2+EF2,

,解得 ;

(2)①如圖2,四邊形MNPQ是菱形,理由如下:

過(guò)點(diǎn)QQE⊥PN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)N過(guò)NF⊥PQ于點(diǎn)F

∴∠PEQ=∠PFN=90°,

∵兩張紙條等寬,

∴NF=QE,

∵∠NPF=∠QPE,

∴△QEP≌△NFP

∴PQ=PN,

由題意可得:MN∥PQ,MQ∥NP,

四邊形MNPQ是平行四邊形,

四邊形MNPQ是菱形;

如圖4,由題意和可知,菱形MNPQ邊上的高是3,故當(dāng)菱形MNPQ的邊長(zhǎng)越長(zhǎng)時(shí),其面積越大,由圖4可知,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合、點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),邊長(zhǎng)MQ=AQ=QC,此時(shí)面積最大,

設(shè)AQ=QP=a,則BQ=BC-QC=8-a,

Rt△ABQ中,AQ2=AB2+BQ2,

,解得: ,

菱形MNPQ的最大面積為: .

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進(jìn)價(jià)(元/只)

售價(jià)(元/只)

甲種節(jié)能燈

30

40

甲種節(jié)能燈

35

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