Question

11．已知⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為3和5，O₁O₂=10．則兩圓的兩條內公切線與一條外公切線所圍成的三角形面積為$\frac{45}{4}$．

Answer 1

分析 作輔助線，根據切線性質得出O₁C⊥CD，O₂D⊥CD、O₁E⊥FM，O₂F⊥FM，則O₁E∥O₂F和PH∥O₂D，
根據平行線分線段成比例定理列比例式求出PG、PH的長，再根據內公切線公式和外公切線公式求出AB和CD的長，從而得出ND、MC的長，根據面積公式代入計算求面積即可．

解答 解：設外公切線的兩個切點分別為C、D，內公切線的四個切點分別為A、E、B、F，連接O₁C、O₂D、O₁E、O₂F，則O₁C⊥CD，O₂D⊥CD、O₁E⊥FM，O₂F⊥FM，
過P作PH⊥CD于H，過O₁作O₁Q⊥O₂D于Q，兩垂線交于點G，連接O₁O₂，則O₁、O₂經過點P；
∵O₁E⊥FM，O₂F⊥FM，
∴O₁E∥O₂F，
∴$\frac{{O}_{1}P}{{O}_{2}P}$=$\frac{{O}_{1}E}{{O}_{2}F}$=$\frac{3}{5}$，
∵PH⊥CD，O₂D⊥CD，
∴PH∥O₂D，
∴$\frac{PG}{{O}_{2}Q}$=$\frac{{O}_{1}P}{{O}_{1}{O}_{2}}$=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{PG}{5-3}=\frac{3}{8}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$，
∴PH=3+$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∵AN=CN，
即AB+BN=CN，
∵CD=CN+DN，
∴CD=AB+BN+ND，
∵ND=BN，
∴BN=ND=$\frac{CD-AB}{2}$，
∵CD=O₁Q=$\sqrt{1{0}^{2}-（5-3）^{2}}$=4$\sqrt{6}$，
AB=$\sqrt{1{0}^{2}-（5+3）^{2}}$=6，
∴ND=$\frac{4\sqrt{6}-6}{2}$=2$\sqrt{6}$-3，
同理得：CM=2$\sqrt{6}$-3，
∴MN=CD-CM-ND=4$\sqrt{6}$-2（2$\sqrt{6}$-3）=6，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•PH=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{15}{4}$=$\frac{45}{4}$，
故答案為：$\frac{45}{4}$．

點評 本題考查了相離兩圓的外公切線和內公切線的性質，首先要確定其所成的三角形，根據面積公式求兩邊MN和FH的長，因此要熟練掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑，同時運用了平行線分線段成比例定理和勾股定理求邊的長，代入面積公式即可得出結論．