Question

如圖，已知反比例函數(shù)（x > 0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1,4），點(diǎn)B（m , n），其中m＞1， AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C．
（1）寫出反比例函數(shù)解析式；
（2）求證：∆ACB∽∆NOM；
（3）若∆ACB與∆NOM的相似比為2，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)及AB所在直線的解析式．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3），.

解析試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求出k，從而得到反比例函數(shù)解析式.
（2）由于∠ACB =∠NOM = 90°，所以要證ΔACB∽ΔNOM，只要即可，由已知分別求出和，證明它們相等即可.
（3）由ΔACB與ΔNOM的相似比為2，根據(jù)（2）相似比為，列式求解即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得AB所在直線的解析式.
試題解析：（1）∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1,4），∴.
∴反比例函數(shù)解析式為.
（2）∵ B（m，n），A（1，4），∴AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1.
∴.
∵點(diǎn)B（m，n）在上，∴. ∴.
又∵. ∴.
又∵∠ACB =∠NOM = 90°，∴ ΔACB∽ΔNOM..
（3）∵ ΔACB與ΔNOM的相似比為2，∴m–1 =" 2." ∴m = 3.
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為.
設(shè)AB所在直線的解析式為y = kx＋b，
∴ ，解得.
∴AB所在直線的解析式為.
考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.相似三角形的判定和性質(zhì).