Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=14，AD= 4，CD=7．直線l經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB=．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于AB，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）求腰BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長(zhǎng)線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？

Answer 1

（1）5；（2）S=﹣5t²+14t(0＜t≤1）（3）不存在，理由見解析；（4）t=或t=

解析試題分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB=特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，求出梯形的高，然后利用勾股定理求出BC有長(zhǎng)；
（2）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t；
（3）在（2）的條件下，不存在某一時(shí)刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的
（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．
試題解析：（1）5 
（2）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t
（3）梯形ABCD的面積為42
﹣5t²+14t=42程無(wú)解，所以△MPQ的面積不能為梯形ABCD的。
（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：
①如圖4所示，點(diǎn)M在線段NM的右側(cè)上
，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；
②如圖5所示，當(dāng)Q在MN的左側(cè)時(shí)，5t-5+（2t-4）-7=（2t-4）+4-4，

解得：t=．
故當(dāng)t=或t=時(shí)，△QMN為等腰三角形．
考點(diǎn): 一次函數(shù)綜合題．