Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+mx+n得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．

拋物線的對稱軸為直線x=﹣ = ，

則D（ ，0），

∴CD= = = ，

如圖1，當(dāng)CP=CD時(shí)，則P1（ ，4）；

當(dāng)DP=DC時(shí)，則P2（ ， ），P3（ ，﹣ ），

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣ ）

（3）

解：當(dāng)y=0時(shí)，=﹣ x2+ x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，則B（4，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，

C的解析式為y=﹣ x+2，

設(shè)E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣ x2+ x+2），

∴FE=﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）=﹣ x2+2x，

∵S△BCF=S△BEF+S△CEF= 4EF=2（﹣ x2+2x）=﹣x2+4x，

而S△BCD= ×2×（4﹣ ）= ，

∴S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD

=﹣x2+4x+ （0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）2+ .

當(dāng)x=2時(shí)，S四邊形CDBF有最大值，最大值為 . ，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）

【解析】（1）直接把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣ x2+mx+n得m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；（2）先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣ ，則D（ ，0），則利用勾股定理計(jì)算出CD= ，然后分類討論：如圖1，當(dāng)CP=CD時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)易得P1（ ，4）；當(dāng)DP=DC時(shí)，易得P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）；（3）先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+2，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣ x2+ x+2），則FE=﹣ x2+2x，由于△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S△BCF=S△BEF+S△CEF= 4EF=﹣x2+4x，加上S△BCD= ，所以S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+ （0≤x≤4），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形CDBF的面積最大，并得到此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)．