【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90°,且AD=12cm,AB=8cmDC=10cm,若動(dòng)點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā),以每秒2cm的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)QC點(diǎn)出發(fā)以每秒3cm的速度沿CBB點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)PQ同時(shí)出發(fā),并運(yùn)動(dòng)了t秒,回答下列問(wèn)題:

1BC= cm;

2)當(dāng)t為多少時(shí),四邊形PQCD成為平行四邊形?

3)當(dāng)t為多少時(shí),四邊形PQCD為等腰梯形?

4)是否存在t,使得DQC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】118;(2)當(dāng)t=秒時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形;(3)當(dāng)t=時(shí),四邊形PQCD為等腰梯形;(4)存在t, t的值為秒或4秒或秒.

【解析】試題分析:(1)作DE⊥BCE,則四邊形ABED為矩形.在直角△CDE中,已知DC、DE的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理可以計(jì)算EC的長(zhǎng)度,根據(jù)BC=BE+EC即可求出BC的長(zhǎng)度;

2)由于PD∥QC,所以當(dāng)PD=QC時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形,根據(jù)PD=QC列出關(guān)于t的方程,解方程即可;

3)首先過(guò)DDE⊥BCE,可求得EC的長(zhǎng),又由當(dāng)PQ=CD時(shí),四邊形PQCD為等腰梯形,可求得當(dāng)QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE,即3t-12-2t=12時(shí),四邊形PQCD為等腰梯形,解此方程即可求得答案;

4)因?yàn)槿呏,每(jī)蓷l邊都有相等的可能,所以應(yīng)考慮三種情況.結(jié)合路程=速度×時(shí)間求得其中的有關(guān)的邊,運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解.

試題解析:根據(jù)題意得:PA=2tCQ=3t,則PD=AD-PA=12-2t

1)如圖,過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BCE,則四邊形ABED為矩形,

DE=AB=8cmAD=BE=12cm

在直角△CDE中,∵∠CED=90°,DC=10cmDE=8cm,

EC==6cm,

∴BC=BE+EC=18cm

2∵AD∥BC,即PD∥CQ,

當(dāng)PD=CQ時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形,

12-2t=3t,

解得t=秒,

故當(dāng)t=秒時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形;

3)如圖,過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BCE,則四邊形ABED為矩形,DE=AB=8cm,AD=BE=12cm,

當(dāng)PQ=CD時(shí),四邊形PQCD為等腰梯形.

過(guò)點(diǎn)PPF⊥BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)DDE⊥BC于點(diǎn)E,則四邊形PDEF是矩形,EF=PD=12-2t,PF=DE

Rt△PQFRt△CDE中,

,

∴Rt△PQF≌Rt△CDEHL),

∴QF=CE

∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE

3t-12-2t=12

解得:t=

即當(dāng)t=時(shí),四邊形PQCD為等腰梯形;

4△DQC是等腰三角形時(shí),分三種情況討論:

當(dāng)QC=DC時(shí),即3t=10,

t=;

當(dāng)DQ=DC時(shí),

∴t=4;

當(dāng)QD=QC時(shí),3t×

t=

故存在t,使得DQC是等腰三角形,此時(shí)t的值為秒或4秒或秒.

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