Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l：與 x 軸交于點(diǎn) A（-2，0），與 y 軸交于點(diǎn) B．雙曲線與直線 l 交于 P，Q 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)大于點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)．

（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2 時(shí)，求 k 的值；

（3）連接 PO，記△POB 的面積為 S，若 ，直接寫出 k 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）8；（3）≤k≤3或-1≤k≤．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，可求出直線的解析式，再由解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線解析式即可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后把點(diǎn)P代入反比例函數(shù)解析式即可得k值．
（3）根據(jù)△POB的面積為S的取值范圍求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值，然后把橫坐標(biāo)代入直線解析式，即可求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍，進(jìn)而求得k的取值范圍．

解：（1）∵直線l：y＝x＋b與x軸交于點(diǎn)A（2，0）
∴2＋b＝0
∴b＝2
∴一次函數(shù)解析式為：y＝x＋2

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴直線l與y軸交于點(diǎn)B為（0，2）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）；
（2）∵雙曲線與直線l交于P，Q兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在直線l上
∴當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，y＝2＋2＝4
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）
∴k＝2×4＝8
∴k的值為8；
（3）如圖所示，

①當(dāng)k＞0時(shí)，
S＝×2×xp＝xp，
∵≤S≤1，
∴≤xp≤1，

∵點(diǎn)P在直線y＝x＋2上，

∴≤yp≤3，

∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)，

∴xy=k，

∴≤k≤3，

②當(dāng)k＜0時(shí)，
S＝×2×|xp|＝xp，
∵≤S≤1，

∴≤-xp≤1，

∴-1≤xp≤

∵點(diǎn)P在直線y＝x＋2上，

∴1≤yp≤，

∵點(diǎn)Pspan>在反比例函數(shù)，

∴xy=k，

∴-1≤k≤，
綜上所述，k的取值范圍為：≤k≤3或-1≤k≤．