Question

【題目】如圖，∠AOB＝45°，點M，N在邊OB上，OM＝x，ON＝x+4，點P是邊OA上的點，且△PMN是等腰三角形．在x>2的條件下，（1）當x＝______時，符合條件的點P只有一個；（2）當x＝______時，符合條件的點P恰好有三個．（兩個小題都只寫出一個數即可）

Answer 1

【答案】x>的數均可； 4<x<的數均可；

【解析】

（1）當點M到OA的距離=MN時，符合題意的等腰三角形有兩個，此時點P就在垂足位置和或MN的垂直平分線與OA的交點處；所以當點M到OA的距離>MN，符合題意的等腰三角形就只有一個，此時點P就是MN的垂直平分線與OA的交點；

（2）分三種情況討論：先確定特殊位置時成立的x值，
①如圖1，當M與O重合時，即x=0時，點P恰好有三個；
②如圖2，構建腰長為4的等腰直角△OMC，和半徑為4的⊙M，發(fā)現(xiàn)M在點D的位置時，滿足條件；
③如圖3，根據等腰三角形三種情況的畫法：分別以M、N為圓心，以MN為半徑畫弧，與OB的交點就是滿足條件的點P，再以MN為底邊的等腰三角形，通過畫圖發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，以MN為底邊的等腰三角形都存在一個，所以只要滿足以MN為腰的三角形有兩個即可．

解：（1）過點M作MC⊥OA于點C,

∵MN=ON-OM=(x+4)-x=4,

∴當MC=MN=4時，點P在點C位置可以構成等腰三角形，此時MN=MP=4；點P在線段MN的垂直平分線與OA的交點處，也可以構成等腰三角形，此時PM=PN.即可以作兩個等腰三角形，此時OM= =.4 ，當OM>4時，點M到OA的距離就會大于4，即MC>MN,在OA上就不存在點P，使PM=MN=4,，只有PM=PN，所以當x>.4時，符合條件的點P只有一個；

（2）解：分三種情況：
①如圖1，當M與O重合時，即x=0時，點P恰好有三個；

②如圖2，以M為圓心，以4為半徑畫圓，當⊙M與OB相切時，設切點為C，⊙M與OA交于D，

∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4，
當M與D重合時，即x=OM-DM=4-4時，同理可知：點P恰好有三個；
③如圖3，取OM=4，以M為圓心，以OM為半徑畫圓，

則⊙M與OB除了O外只有一個交點，此時x=4，即以∠PMN為頂角，MN為腰，符合條件的點P有一個，以N圓心，以MN為半徑畫圓，與直線OB相離，說明此時以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點P不存在，還有一個是以NM為底邊的符合條件的點P；
點M沿OA運動，到M1時，發(fā)現(xiàn)⊙M1與直線OB有一個交點；
∴當4＜x＜4

時，圓M在移動過程中，則會與OB除了O外有兩個交點，滿足點P恰好有三個；
綜上所述，若使點P，M，N構成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是：x=0或x=4-4或4＜x＜4．
故答案為：x=0或x=4-4或4＜x＜4中的任意一個數即可