Question

如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，拋物線y=-

2

3

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，交正x軸于點(diǎn)D，E是OC上的動(dòng)點(diǎn)（不與C重合）連接EB，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥BE交y軸與F
（1）求b，c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結(jié)論；
（3）連接EF，BD，設(shè)OE=m，△BEF與△BED的面積之差為S，問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A，B代入拋物線y=-

2

3

x²+bx+c求得b、c即可，y=0，建立方程求得點(diǎn)D；
（2）四邊形OEBF的面積不變，利用三角形全等證得結(jié)論即可；
（3）用m分別表示出兩個(gè)三角形的面積，求差探討得出答案即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（0，2）、B（2，2）代入拋物線y=-

2

3

x²+bx+c得

c=2 - 8 3 +2b+c=2

解得b=

4

3

，c=2；
∴y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；
令-

2

3

x²+

4

3

x+2=0
解得x₁=-1，x₂=3
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
（2）點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF的面積不變；
∵四邊形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四邊形OEBF的面積始終等于正方形OABC的面積．
（3）如圖，

可以看出S_△BEF=S_梯形OCBF-S_△OEF-S_△BEC
=

1

2

（2+2+m）×2-

1

2

m（2+m）-

1

2

（2-m）×2
=-

1

2

m²+m+2
S_△BED=

1

2

×（3-m）×2
=3-m
兩個(gè)三角形的面積差最小為0，
即3-m=-

1

2

m²+m+，
解得m=2±

2

，
∵E是OC上的動(dòng)點(diǎn)
∴m=2-

2

，
當(dāng)m=2-

2

時(shí)S最小為0．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．