如圖,已知正方形OABC的邊長為4,⊙M是以O(shè)C為直徑的圓,現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn),邊OA、OC所在的直線為坐標(biāo)軸建精英家教網(wǎng)立平面直角坐標(biāo)系,使點(diǎn)B落在第四象限,一條拋物線y=ax2+bx經(jīng)過O、C兩點(diǎn),并將拋物線的頂點(diǎn)記作P.
(1)求證:4a+b=0;
(2)當(dāng)點(diǎn)P同時在⊙M和正方形OABC的內(nèi)部時,求a的取值范圍;
(3)過A點(diǎn)作直線AD切⊙M于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.
①求E點(diǎn)的坐標(biāo);
②如果拋物線與直線y=x-4只有一個公共點(diǎn),請你判斷四邊形CMPE的形狀,并說明理由.
分析:(1)由正方形OABC的邊長為4,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過O、C兩點(diǎn),可求出拋物線的對稱軸方程,再根據(jù)拋物線的解析式即可求出a、b的關(guān)系.
(2)由(1)中所求拋物線的解析式及a,b的關(guān)系可用a表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),由圓的半徑為2,可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍即可求出a的取值范圍.
(3)①由切線長定理可知OA=AD,DE=CE,在Rt△ABE中由勾股定理可求出CE的長,進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
②由直線y=x-4只有一個公共點(diǎn)可解直線與拋物線組成的方程組,根據(jù)△=0可求出a的值,根據(jù)a的值求出P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)C,M,P,E四點(diǎn)的作標(biāo)即可判斷出四邊形的形狀.
解答:解:
(1)∵對稱軸為直線x=2,
∴b=-4a,
∴4a+b=0;

(2)y=ax2-4ax,P(2,-4a),
∴-2<-4a<0,
∴0<a<
1
2


(3)①設(shè)CE=x,Rt△ABE中:42+(4-x)2=(4+x)2
∴x=1,
∴x=1,
∴E(4,-1)
②只有一個公共點(diǎn)可知,
y=ax2-4ax
y=x-4
,
即ax2-(4a+1)x+4=0,△=16a2-8a+1=0,
解得a=
1
4

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),
故PE∥MC,PE=|2-4|=2,MC=|2-4|=2,∠MCE是直角,
∴四邊形CMPE為矩形.
點(diǎn)評:本題考查了拋物線、圓、勾股定理的綜合應(yīng)用,具有一定的區(qū)分度,但題中對二次函數(shù)、圓的知識的考查要求較低,只是將其作為一個載體,講評時應(yīng)注意:(1)要知道與拋物線的對稱軸有關(guān);(2)實(shí)際上只需說明頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于0而大于-4即可;(3)的難度大,需用切長定理說明AD=AO=AB=4,CE=CD,再根據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行求解.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn).等腰直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn),E、F分別在OA、OC上,且OA=4,OE=精英家教網(wǎng)2.將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至OE1F1的位置,連接CF1、AE1
(1)求證:△OAE1≌△OCF1;
(2)若三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周,是否存在某一位置,使得OE∥CF?若存在,請求出此時E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,交正x軸于點(diǎn)D,E是OC上的動點(diǎn)(不與C重合)連接EB,過B點(diǎn)作BF⊥BE交y軸與F
(1)求b,c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)E在OC上運(yùn)動時,四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性?并證明你的結(jié)論;
(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問:當(dāng)m為何值時S最小,并求出這個最小值.

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(1)求證:△OAE1≌△OCF1;
(2)若三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周,是否存在某一位置,使得OE∥CF?若存在,請求出此時E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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