如圖,已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xOy中,點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,點O在坐標(biāo)原點.等腰直角三角板OEF的直角頂點O在原點,E、F分別在OA、OC上,且OA=4,OE=精英家教網(wǎng)2.將三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)至OE1F1的位置,連接CF1、AE1
(1)求證:△OAE1≌△OCF1;
(2)若三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一周,是否存在某一位置,使得OE∥CF?若存在,請求出此時E點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段,根據(jù)SAS定理證明;
(2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必與OF垂直;在旋轉(zhuǎn)過程中,E、F的軌跡是以O(shè)為圓心,OE(或OF)長為半徑的圓,若CF⊥OF,那么CF必為⊙O的切線,且切點為F;可過C作⊙O的切線,那么這兩個切點都符合F點的要求,因此對應(yīng)的E點也有兩個;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可證得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE的長,通過解直角三角形,不難得到E點的坐標(biāo),由此得解.
解答:解:(1)證明:
∵四邊形OABC為正方形,∴OC=OA.
∵三角板OEF是等腰直角三角形,∴OE1=OF1
又三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)至OE1F1的位置時,∠AOE1=∠COF1,
∴△OAE1≌△OCF1.                                          (3分)

(2)存在.                                                  (4分)
∵OE⊥OF,
∴過點F與OE平行的直線有且只有一條,并與OF垂直,
當(dāng)三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一周時,
則點F在以O(shè)為圓心,以O(shè)F為半徑的圓上.                         (5分)
∴過點F與OF垂直的直線必是圓O的切線.精英家教網(wǎng)
又點C是圓O外一點,過點C與圓O相切的直線有且只有2條,不妨設(shè)為CF1和CF2,
此時,E點分別在E1點和E2點,滿足CF1∥OE1,CF2∥OE2.             (7分)
當(dāng)切點F1在第二象限時,點E1在第一象限.
在直角三角形CF1O中,OC=4,OF1=2,
cos∠COF1=
OF1
OC
=
1
2
,
∴∠COF1=60°,∴∠AOE1=60°.
∴點E1的橫坐標(biāo)為:xE1=2cos60°=1,
點E1的縱坐標(biāo)為:yE1=2sin60°=
3

∴點E1的坐標(biāo)為(1,
3
);(9分)
當(dāng)切點F2在第一象限時,點E2在第四象限.
同理可求:點E2的坐標(biāo)為(1,-
3
).      (10分)
綜上所述,三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一周,存在兩個位置,使得OE∥CF,
此時點E的坐標(biāo)為E1(1,
3
)或E2(1,-
3
).   (11分)
點評:本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定以及解直角三角形等重要知識.能夠聯(lián)系圓的相關(guān)知識來解答(3)題是此題的一個難點.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知正方形OABC的邊長為4,⊙M是以O(shè)C為直徑的圓,現(xiàn)以O(shè)為原點,邊OA、OC所在的直線為坐標(biāo)軸建精英家教網(wǎng)立平面直角坐標(biāo)系,使點B落在第四象限,一條拋物線y=ax2+bx經(jīng)過O、C兩點,并將拋物線的頂點記作P.
(1)求證:4a+b=0;
(2)當(dāng)點P同時在⊙M和正方形OABC的內(nèi)部時,求a的取值范圍;
(3)過A點作直線AD切⊙M于點D,交BC于點E.
①求E點的坐標(biāo);
②如果拋物線與直線y=x-4只有一個公共點,請你判斷四邊形CMPE的形狀,并說明理由.

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23
x2+bx+c經(jīng)過點A,B,交正x軸于點D,E是OC上的動點(不與C重合)連接EB,過B點作BF⊥BE交y軸與F
(1)求b,c的值及D點的坐標(biāo);
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(1)求證:4a+b=0;
(2)當(dāng)點P同時在⊙M和正方形OABC的內(nèi)部時,求a的取值范圍;
(3)過A點作直線AD切⊙M于點D,交BC于點E.
①求E點的坐標(biāo);
②如果拋物線與直線y=x-4只有一個公共點,請你判斷四邊形CMPE的形狀,并說明理由.

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