【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與軸相交于,兩點,與軸相交于點,頂點為,直線與軸相交于點
(1)求拋物線的頂點坐標(用含的式子表示);
(2)的長是否與值有關(guān),說明你的理由;
(3)設(shè),求的取值范圍;
(4)以為斜邊,在直線的左下方作等腰直角三角形.設(shè),直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍.
【答案】(1)頂點D(﹣1,-4a);(2)OE=3,OE的長與a值無關(guān),理由見解析;(3);(4)n=﹣m﹣1(m<1),理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法,得,從而得y=ax2+2ax-3a,進而得到頂點的坐標;
(2)由y=ax2+2ax﹣3a,得C(0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),從而得點E的坐標,即可得到結(jié)論;
(3)當β=45°時,OC=OE=3,求出a=﹣1,當β=60°時,OC=3,求出a=﹣,進而即可求解;
(4)作PM⊥對稱軸于M,PN⊥AB于N,易證△DPM≌△EPN,得PM=PN,DM=EN,結(jié)合D(﹣1,﹣4a),E(3,0),,即可得到結(jié)論.
(1)把,代入函數(shù),得:
,解得:,
∴二次函數(shù)解析式為:y=ax2+2ax-3a,
∴頂點D(﹣1,-4a);
(2)OE的長與a值無關(guān),理由如下:
∵y=ax2+2ax﹣3a,
∴C(0,﹣3a),
∵D(﹣1,﹣4a),
∴直線CD的解析式為:y=ax﹣3a,
∴當y=0時,x=3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
∴OE的長與a值無關(guān);
(3)當β=45°時,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
當β=60°時,在Rt△OCE中,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣,
∴45°≤β≤60°時,a的取值范圍為:;
(4)n=﹣m﹣1,m<1,理由如下:
作PM⊥對稱軸于M,PN⊥AB于N.
∵PD=PE,∠PMD=∠PNE=90°,∠DPE=∠MPN=90°,
∴∠DPM=∠EPN,
∴△DPM≌△EPN(AAS),
∴PM=PN,DM=EN.
∵D(﹣1,﹣4a),E(3,0),,
∴由PM=PN,得:-1-n=m,
∴n=﹣m﹣1,
當頂點D在x軸上時,P(1,﹣2),此時m的值1.
∵拋物線的頂點在第二象限,
∴m<1,
∴n=﹣m﹣1(m<1).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD上一點,PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點P、O、Q,連接BP、EQ.
(1)求證:四邊形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6,F(xiàn)為AB的中點,OF+OB=9,求PQ的長.
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【題目】重慶某中學(xué)組織七、八、九年級學(xué)生參加“直轄20年,點贊新重慶”作文比賽,該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計,繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.
(1)扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的圓心角是 度,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)經(jīng)過評審,全校有4篇作文榮獲特等獎,其中有一篇來自七年級,學(xué)校準備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校刊上,請利用畫樹狀圖或列表的方法求出七年級特等獎作文被選登在校刊上的概率.
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【題目】今年我省部分地區(qū)遭遇嚴重干旱,為鼓勵市民節(jié)約用水,我市自來水公司按分段收費標準收費,右圖反映的是每月收水費y(元)與用水量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)小聰家五月份用水7噸,應(yīng)交水費 元;
(2)按上述分段收費標準,小聰家三、四月份分別交水費29元和19.8元,問四月份比三月份節(jié)約用水多少噸?
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【題目】在平面直角坐標系中,直線與雙曲線相交于點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)畫出雙曲線的示意圖;
(3)若另一個交點的坐標為,則 ;當時,的取值范圍 。
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【題目】閱讀下面內(nèi)容,并解答問題:楊輝和他的一個數(shù)學(xué)問題:提起代數(shù),人們自然就和方程聯(lián)系起米.事實上,我國古代對代數(shù)的研究,特別是對方程的解法研究有著優(yōu)良的傳統(tǒng)并取得了重要成果.楊輝,字謙光,錢塘(今浙江杭州)人,南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,楊輝一生留下了大量的著述,他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷.下面是楊輝在1275年提出的一個問題(選自楊輝所著《田畝比類乘除算法》):直田積(矩形面積)八百六十四步(平方步),只云闊(寬)不及長一十二步(寬比長少一十二步),問闊及長各幾步.請你用學(xué)過的知識解決這個問題.
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【題目】在一個不透明的盒子里,裝有四個分別標有數(shù)字1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小明先從盒子里隨機取出一個小球,記下數(shù)字為x;放回盒子搖勻后,再由小華隨機取出一個小球,記下數(shù)字為y.
(1)用列表法或畫樹狀圖表示出(x,y)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求小明、小華各取一次小球所確定的點(x,y)落在反比例函數(shù)的圖象上的概率;
(3)求小明、小華各取一次小球所確定的數(shù)x、y滿足的概率.
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【題目】已知P(a,y1),Q(1,y2)是拋物線y=kx2+(2k+1)x+2(k是不等于0的常數(shù))上的兩點.
(1)求證:無論k取任何實數(shù)時,關(guān)于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0總有實數(shù)根;
(2)當k=1時,
①求拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖象與x軸兩個交點坐標,并畫出此條拋物線的草圖;
②若y1>y2,請結(jié)合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點D,過點A的直線交拋物線于另一點C,點E為拋物線的頂點,連接CE,AE,設(shè)AE交y軸于點F,點A的坐標為,且,C、D兩點關(guān)于對稱軸對稱.
(1)若,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,試探究拋物線上是否存在一點M,使為以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)點P是直線AE上方拋物線上的一動點,若的面積最大值為,求a的值.
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