【題目】如圖1所示,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過點(diǎn)A的一條直線,且B點(diǎn)和C點(diǎn)在AE的異側(cè),BD⊥AE于D點(diǎn),CE⊥AE與E點(diǎn).

(1)求證:BD=DE+CE
(2)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時(shí)(BD<CE)其余條件不變,問BD 與DE,CE的關(guān)系如何?請予以證明.

(3)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)(BD>CE)其余條件不變,問BD 與DE,CE的關(guān)系如何?直接寫出結(jié)果,不需證明.

【答案】
(1)

證明:∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,

∴∠ADB=∠AEC=90°.

∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,

∵∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°,

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD 和△CAE中,

∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA,AB=AC

∴△ABD≌△CAE(AAS)

∴BD=AE,AD=CE

∵AE=AD+DE,

∴BD=DE+CE


(2)

解:BD=DE﹣CE

證明如下:

∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵∠BAC=90°,

∴∠DAB+∠CAE=90°,

∴∠DBA=∠CAE.

在△DBA和△EAC中,

∠D=∠E=90°,∠DBA=∠CAE,AB=AC

△DBA≌△EAC(AAS)

∴BD=AE,AD=CE

BD=AE=DE﹣AD=DE﹣CE


(3)

解:∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵∠BAC=90°,

∴∠DAB+∠CAE=90°,

∴∠DBA=∠CAE.

在△DBA和△EAC中,

∠D=∠E=90°,∠DBA=∠CAE,AB=AC

△DBA≌△EAC(AAS)

∴BD=AE,AD=CE

又∵ED=AD+AE,

∴DE=BD+CE.


【解析】(1)根據(jù)已知條件易證得∠BAD=∠ACE,且根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE,根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論.(2)BD=DE+CE.根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE,根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論.(3)同上理,BD=DE+CE仍成立.

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