Question

【題目】在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)．

(1)如圖l，若∠ACP=∠B，求證：AC2 =AP·AB；

(2)若M為CP的中點(diǎn)，AC=2，如圖2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易證△ACP∽△ABC，由此可得AC:AB=AP:AC，即：AC2=AP·AB；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CQ∥BM交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例結(jié)合點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)可得BP=BQ，設(shè)BP= ，則可得BQ = ，AP= ，AQ= ；再證△APC∽△ACQ可得AC2 =AP·AQ，即，解方程即可求得BP的長(zhǎng).

試題解析：

（1）∵∠ACP=∠B，∠BAC=∠CAP，

∴△ACP∽△ABC，

∴AC：AB=AP：AC，

∴AC2=AP·AB；

（2）如下圖，作CQ∥BM交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，

又∵點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，

∴PB：BQ=PM：MC=1，

設(shè)BP= ，則BQ = ，

∵AB=3，

∴AP= ，AQ= ，

∵∠PBM=∠ACP，∠PAC= ∠CAQ，

∴△APC∽△ACQ，

∴AC：AQ=AP：AC，

∴AC2 =AP·AQ，即，

解得： （不合題意，舍去），

即BP的長(zhǎng)為.