【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,過點A作直線MN,且∠MAC=∠ABC.
(1)求證:MN是⊙O的切線.
(2)設D是弧AC的中點,連結BD交AC于點G,過點D作DE⊥AB于點E,交AC于點F.
①求證:FD=FG.
②若BC=3,AB=5,試求AE的長.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②AE=1
【解析】
(1)由AB為直徑知∠ACB=90°,∠ABC+∠CAB=90°.由∠MAC=∠ABC可證得∠MAC+∠CAB=90°,則結論得證;
(2)①證明∠BDE=∠DGF即可.∠BDE=90°﹣∠ABD;∠DGF=∠CGB=90°﹣∠CBD.因為D是弧AC的中點,所以∠ABD=∠CBD.則問題得證;
②連接AD、CD,作DH⊥BC,交BC的延長線于H點.證明Rt△ADE≌Rt△CDH,可得AE=CH.根據(jù)AB=BH可求出答案.
(1)證明:∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°;
∵∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠CAB=90°,即MA⊥AB,
∴MN是⊙O的切線;
(2)①證明:∵D是弧AC的中點,
∴∠DBC=∠ABD,
∵AB是直徑,
∴∠CBG+∠CGB=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠FDG+∠ABD=90°,
∵∠DBC=∠ABD,
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD,
∴FD=FG;
②解:連接AD、CD,作DH⊥BC,交BC的延長線于H點.
∵∠DBC=∠ABD,DH⊥BC,DE⊥AB,
∴DE=DH,
在Rt△BDE與Rt△BDH中,
,
∴Rt△BDE≌Rt△BDH(HL),
∴BE=BH,
∵D是弧AC的中點,
∴AD=DC,
在Rt△ADE與Rt△CDH中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL).
∴AE=CH.
∴BE=AB﹣AE=BC+CH=BH,即5﹣AE=3+AE,
∴AE=1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗.如圖,兩臺測角儀分別放在A、B位置,且離地面高均為1米(即米),兩臺測角儀相距50米(即AB=50米).在某一時刻無人機位于點C (點C與點A、B在同一平面內(nèi)),A處測得其仰角為,B處測得其仰角為.(參考數(shù)據(jù):,,,,)
(1)求該時刻無人機的離地高度;(單位:米,結果保留整數(shù))
(2)無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達點F(點F與點A、B、C在同一平面內(nèi)),此時于A處測得無人機的仰角為,求無人機水平飛行的平均速度.(單位:米/秒,結果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為2,圓心O在坐標原點,正方形ABCD的邊長為2,點A、B在第二象限,點C、D在⊙O上,且點D的坐標為(0,2),現(xiàn)將正方形ABCD繞點C按逆時針方向旋轉150°,點B運動到了⊙O上點B1處,點A、D分別運動到了點A1、D1處,即得到正方形A1B1C1D1(點C1與C重合);再將正方形A1B1C1D1繞點B1按逆時針方向旋轉150°,點A1運動到了⊙O上點A2處,點D1、C1分別運動到了點D2、C2處,即得到正方形A2B2C2D2(點B2與B1重合),…,按上述方法旋轉2020次后,點A2020的坐標為( 。
A.(0,2)B.(2+,﹣1)
C.(﹣1﹣,﹣1﹣)D.(1,﹣2﹣)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AP、BP分別平分∠CAB、∠CBA,過點P作DE∥AB交AC于點D,交BC于點E.求證:①點P是線段DE的中點;②求證:BP2=BE·BA;
(2)如圖2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,BP平分∠ABC,過點P作DE∥AB交AC于點D,交BC于點E,若點P為線段DE的中點,求AD的長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明參加射擊比賽,10次射擊的成績?nèi)绫恚?/span>
若小明再射擊2次,分別命中7環(huán)、9環(huán),與前10次相比,小明12次射擊的成績( 。
A. 平均數(shù)變大,方差不變B. 平均數(shù)不變,方差不變
C. 平均數(shù)不變,方差變大D. 平均數(shù)不變,方差變小
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點為直線上一點,點為延長線上一點,且,連結、、.
(1)求證:;
(2)若,求的度數(shù).
(3)若點是的外心,當點在直線的一個位置運動到另一個位置時,點恰好在的內(nèi)部,請直接寫出點走過的距離為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型,在某高峰時段,單位時間進出口,,的機動車輛數(shù)如圖所示,圖中,,分別表示該時段單位時間通過路段,,的機動車輛數(shù)(假設:單位時間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛入與駛出的車輛數(shù)相等).
(1)若,__________.
(2)與的等量關系為__________.
(3),,的大小關系為__________.(用>連接).
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