【題目】如圖1,已知ABCD,AB//x軸,AB=6,點A的坐標為(1,-4),點D的坐標為(-3,4),點B在第四象限,點P是ABCD邊上的一個動點.

(1)若點P在邊BC上,PD=CD,求點P的坐標.
(2)若點P在邊AB,AD上,點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x-1上,求點P的坐標.
(3)若點P在邊AB,AD,CD上,點G是AD與y軸的交點,如圖2,過點P作y軸的平行線PM,過點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將△PGM沿直線PG翻折,當點M的對應點落在坐標軸上時,求點P的坐標(直接寫出答案).

【答案】
(1)

解:在ABCD中, CD=AB=6,

所以點P與點C重合,

所以點P的坐標為(3,4).


(2)

解:①當點P在邊AD上時,

由已知得,直線AD的函數(shù)表達式為y=-2x-2,

設P(a,-2a-2),且-3≤a≤1,

若點P關于x軸對稱點Q1(a,2a+2)在直線y=x-1上,

所以2a+2=a-1,解得a=-3,此時P(-3,4)。

若點P關于y軸對稱點Q2(-a,-2a-2)在直線y=x-1上,

所以-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時P(-1,0).

②當點P在邊AB上時,設P(a,-4),且1≤a≤7,

若點P關于x軸對稱點Q3(a,4)在直線y=x-1上,

所以4=a-1,解得a=5,此時P(5,-4).

若點P關于y軸對稱點Q4(-a,-4)在直線y=x-1上,

所以-4=-a-1,解得a=3,此時P(3,-4).

綜上所述,點P的坐標為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).


(3)

解:因為直線AD為y=-2x-2,所以G(0,-2).

①如圖,當點P在CD邊上時,可設P(m,4),且-3≤m≤3,

則可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|,

易證得△OGM′~△HM′P,

,

,

則OM′= ,

在Rt△OGM′中,

由勾股定理得, ,

解得m= ,

則P( ,4)或( ,4);

②如下圖,當點P在AD邊上時,設P(m,-2m-2),

則PM′=PM=|-2m|,GM′=MG=|m|,

易證得△OGM′~△HM′P,

,

,

則OM′=

在Rt△OGM′中,

由勾股定理得, ,

整理得m= ,

則P( ,3);

如下圖,當點P在AB邊上時,設P(m,-4),

此時M′在y軸上,則四邊形PM′GM是正方形,

所以GM=PM=4-2=2,

則P(2,-4).

綜上所述,點P的坐標為(2,-4)或( ,3)或( ,4)或( ,4).


【解析】(1)點P在BC上,要使PD=CD,只有P與C重合;(2)首先要分點P在邊AB,AD上時討論,根據(jù)“點P關于坐標軸對稱的點Q”,即還要細分“點P關于x軸的對稱點Q和點P關于y軸的對稱點Q”討論,根據(jù)關于x軸、y軸對稱點的特征(關于x軸對稱時,點的橫坐標不變,縱坐標變成相反數(shù);關于y軸對稱時,相反;)將得到的點Q的坐標代入直線y=x-1,即可解答;(3)在不同邊上,根據(jù)圖象,點M翻折后,點M’落在x軸還是y軸,可運用相似求解.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關知識,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分,以及對翻折變換(折疊問題)的理解,了解折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和角相等.

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(1)如圖③,AD是△ABC的中線,BE交AC于點E,交AD于點F,且AE=EF,求證:AC=BF.

請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程:

(2)解決問題:如圖⑤,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線.過點D,E作DF∥EG,分別交BC于點F,G,過點A作MN∥BC,分別與FD,GE的延長線交于點M,N,則四邊形MFGN周長的最小值是   

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