Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性，頂角為36°的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形“具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可以把它分成兩個(gè)小等腰三角形，為此，請(qǐng)你，解答問(wèn)題：

（1）已知如圖1：黃金三角形△ABC中，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，求證：△ABD和△DBC都是等腰三角形；

（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)等腰三角形，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．

（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°，求原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°

【解析】

（1）通過(guò)角度轉(zhuǎn)換得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判斷；

（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；

（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36°，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：①當(dāng)分割的直線過(guò)頂點(diǎn)B時(shí)②當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)D時(shí)情況和過(guò)點(diǎn)B一樣的，③當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在分別求出最大角的度數(shù)即可.

解：（1）證明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴△ABD為等腰三角形，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴△BCD為等腰三角形；

（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理作出，如圖所示：

（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36°，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：

①當(dāng)分割的直線過(guò)頂點(diǎn)B時(shí)，

【1】：第一個(gè)等腰三角形ABC以A為頂點(diǎn):則第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值為108°；

【2】：第一個(gè)等腰三角形ABC以B為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值為126°；

【3】第一個(gè)等腰三角形ABC以C為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD有三種情況

△BCD以B為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=72°，

∴∠ABD=72°，最大角的值為72°；

△BCD以C為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=54°，

∴∠ABD=90°，最大角的值為90°；

△BCD以D為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=36°

∴∠ABD=108°，最大角的值為108°；

②當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)D時(shí)情況和過(guò)點(diǎn)B一樣的；

③當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

此時(shí)∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，

最大角的值為132°；

綜上所述：最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°.