Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)y1=a（x﹣2）2+c（a≠0）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），在x軸上截得的線段長(zhǎng)為 ．
（1）求a、c的值．
（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y2=y1﹣kx的最小值稱為k的“貢獻(xiàn)值”，記作g（k）．求g（k）的解析式．
（3）在（2）條件下，當(dāng)“貢獻(xiàn)值”g（k）=1時(shí)，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（0，1）代入得：4a+c=1 ①．

又∵在x軸上截得的線段長(zhǎng)為 ．

∴令y=0，則a（x﹣2）2+c=ax2﹣4ax+4a+c=0，

∴|x2﹣x1|= = =2 ，

，整理，得2a+c=0 ②，

聯(lián)立①②，解得：a= ，c=﹣1．

（2）解：∵y2=y1﹣kx，

∴y2= （x﹣2）2﹣1=﹣kx= x2﹣（k+2）x+1．

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=k+2．

當(dāng)k+2＜﹣2時(shí)，即k＜﹣4時(shí)，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y2有最小值，y2的最小值= ×4+2（k+2）+1=2k+7；

當(dāng)﹣2≤k+2≤1時(shí)，即﹣4≤k≤﹣1時(shí)，當(dāng)x=k+2時(shí)，y2有最小值，y2的最小值= （k+2）2﹣（k+2）2+1=﹣ （k+2）2+1．

當(dāng)k+2＞1時(shí)，即k＞﹣1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，y2有最小值，y2的最小值= ×1﹣（k+2）+1=﹣k﹣ ．

綜上所述，g（k）的解析式為g（k）=

（3）解：當(dāng)k＜﹣4時(shí)：令y=2k+7=1，得k=﹣3，不合題意舍去；

當(dāng)﹣4≤k≤﹣1時(shí)：令y=﹣ （k+2）2+1=1；得k=﹣2．

當(dāng)k＞﹣1時(shí)：令y=﹣k﹣ =1，得k=﹣ ，舍去．

綜上所述，k=﹣2．

【解析】（1）將（0，1）代入得：4a+c=1，在x軸上截得的線段長(zhǎng)為 2 ，將y=0代入方程，由|x2﹣x1|= 2 ，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得到2a+c=0，即可求出a、c的值。
（2）根據(jù)題意得出y2= x2﹣（k+2）x+1，可知拋物線的對(duì)稱軸為x=k+2，然后分三種情況討論：當(dāng)k+2＜﹣2時(shí)，當(dāng)﹣2≤k+2≤1時(shí)，當(dāng)k+2＞1時(shí)，就可以分別求出y2的最小值，即可求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式。
（3）由已知g（k）=1時(shí)，當(dāng)k＜﹣4時(shí)：當(dāng)﹣4≤k≤﹣1時(shí)：當(dāng)k＞﹣1時(shí),分別列出關(guān)于k的方程，解方程從而求得k的值。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用解二元一次方程組和二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系，掌握二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法；二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時(shí)，拋物線開口向上; a<0時(shí)，拋物線開口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）即可以解答此題．