【題目】12分)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的邊長OAOC分別為12cm、6cm,點A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0

1)求拋物線的解析式.

2)如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動,同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動.

移動開始后第t秒時,設(shè)PBQ的面積為S,試寫出St之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.

當(dāng)S取得最大值時,在拋物線上是否存在點R,使得以P、BQ、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】(1y=x2-4x-12;(2S=-t2+6t,0t6拋物線上存在點R3,-18),使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的對邊相等求出點AB的坐標(biāo),把兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式,再聯(lián)立18a+c=0,解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,然后即可得到拋物線的關(guān)系式;

2根據(jù)速度的不同,表示出BP、BQ的長度,然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到St的關(guān)系式,根據(jù)速度分別求出點P與點Q的運動時間即可得到t取值范圍;

先根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題求出S取最大值時的t的值,從而求出點P與點Q的坐標(biāo),再根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等,分QRPB是對邊時,PRQB是對邊時,兩種情況求出點Q的坐標(biāo),然后代入拋物線解析式進(jìn)行驗證,如果點Q在拋物線上,則存在,否則不存在.

試題解析:(1矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm6cm

A、B的坐標(biāo)分別為A0,-12),B6-12),

拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0,

解得,

拋物線解析式為y=x2-4x-12

2根據(jù)題意,PB=AB-AP=6-t,BQ=2t,

所以,S=PBBQ=6-t×2t=-t2+6t,

S=-t2+6t

P運動的時間為6÷1=6秒,

Q運動的時間為12÷2=6秒,

所以,t的取值范圍是0t6;

拋物線上存在點R3,-18),使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形.

理由如下:∵S=-t2+6t=-t-32+9,

當(dāng)t=3秒時,S取最大值,

此時,PB=AB-AP=6-t=6-3=3,

BQ=2t=2×3=6,

所以,要使P、B、QR為頂點的四邊形是平行四邊形,

i)當(dāng)QRPB是對邊時,點R的橫坐標(biāo)是6+3=9,縱坐標(biāo)是-12-6=-6

所以點R的坐標(biāo)為(9,-6),

此時×92-4×9-12=6≠-6

所以點R不在拋物線上,

ii)當(dāng)PRQB是對邊時,點R的橫坐標(biāo)是3,縱坐標(biāo)是-12+6=-18,

所以點R的坐標(biāo)是(3-18),

此時, ×32-4×3-12=-18

所以點R在拋物線上,

綜上所述,拋物線上存在點R3-18),使P、BQ、R為頂點的四邊形是平行四邊形.

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