Question

如圖，雙曲線y=

2

x

（x＞0）經(jīng)過四邊形OABC的頂點A、C，∠ABC=90°，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB∥x軸，將△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′點落在OA上，則四邊形OABC的面積是（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  7

  4

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：設(shè)BC的延長線交x軸于點D，連接OC，點C（x，y），AB=a，由角平分線的性質(zhì)得，CD=CB′，則△OCD≌△OCB′，再由翻折的性質(zhì)得，BC=B′C，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得出S_△OCD=

1

2

xy，則S_△OCB′=

1

2

xy，由AB∥x軸，得點A（x-a，2y），由題意得2y（x-a）=2，從而得出三角形ABC的面積等于

1

2

ay，即可得出答案．

解答：解：設(shè)BC的延長線交x軸于點D，連接OC，
設(shè)點C（x，y），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x軸，
∴CD⊥x軸，
由折疊的性質(zhì)可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA與x軸正半軸的夾角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵

OC=OC CB′=CD

，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性質(zhì)得，BC=B′C，
∵雙曲線y=

2

x

（x＞0）經(jīng)過四邊形OABC的頂點A、C，
∴S_△OCD=

1

2

xy=1，
∴S_△OCB′=S_△OCD=1，
∵AB∥x軸，
∴點A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=

1

2

ay=

1

2

，
∴S_OABC=S_△OCB′+S_△ABC+S_△ABC=1+

1

2

+

1

2

=2．
故選C．

點評：本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．