【題目】有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.
(1)如圖1,在半對角四邊形ABCD中,∠B= ∠D,∠C= ∠A,求∠B與∠C的度數(shù)之和;

(2)如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于⊙O,若邊AB上存在一點(diǎn)D,使得BD=BO.∠OBA的平分線交OA于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延長交AC于點(diǎn)F,∠AFE=2∠EAF.

求證:四邊形DBCF是半對角四邊形;
(3)如圖3,在(2)的條件下,過點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G.當(dāng)DH=BG時,求△BGH與△ABC的面積之比.

【答案】
(1)

解:在半對角四邊形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,

∴3∠B+3∠C=360°.

∴∠B+∠C=120°.

即∠B與∠C的度數(shù)之和120°.


(2)

證明:在△BED和△BEO中,

.

∴△BED≌△BEO(SAS).

∴∠BDE=∠BOE.

又∵∠BCF=∠BOE.

∴∠BCF=∠BDE.

如下圖,連結(jié)OC.

設(shè)∠EAF=.則∠AFE=2∠EAF=2.

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=.

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四邊形DBCF是半對角四邊形.


(3)

解:如下圖,作過點(diǎn)OM⊥BC于點(diǎn)M.

∵四邊形DBCF是半對角四邊形,

∴∠ABC+∠ACB=120°.

∴∠BAC=60°.

∴∠BOC=2∠BAC=120°.

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=30°.

∴BC=2BM=BO=BD.

∵DG⊥OB,

∴∠HGB=∠BAC=60°.

∵∠DBG=∠CBA,

∴△DBG△CBA.

=2=.

∵DH=BG,BG=2HG.

∴DG=3HG.

=

=.


【解析】(1)在半對角四邊形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A;根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°,得出∠B與∠C的度數(shù)之和.
(2)如圖連接OC,根據(jù)條件先證△BED≌△BEO,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BCF=∠BOE=∠BDE;設(shè)∠EAF=.則∠AFE=2∠EAF=2得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2;再根據(jù)OA=OC得出∠OAC=∠OCA= , 根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2;從而得證.
(3)如下圖,作過點(diǎn)OM⊥BC于點(diǎn)M,由四邊形DBCF是半對角四邊形,得出∠ABC+∠ACB=120°,∠BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°;再由OB=OC,得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM=BO=BD;根據(jù)△DBG~△CBA得出答案.
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的內(nèi)角和外角和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道三角形的三個內(nèi)角中,只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個銳角互余;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角;等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角).

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