【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)點(diǎn)M、N為拋物線上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作MD∥y軸,交直線BC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,若四邊形MNFE為正方形(此處限定點(diǎn)M在對稱軸的右側(cè)),求該正方形的面積;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),
∴設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
將點(diǎn)C(0,3)代入上式,得:3=a(0+1)(0﹣3),
解得:a=﹣1,
∴所求拋物線解析式為y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3
(2)
解:由(1)知,拋物線的對稱軸為x=﹣ =1,
如圖1,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),
∴ME=|﹣m2+2m+3|,
∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對稱,且點(diǎn)M在對稱軸右側(cè),
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2﹣m,
∴MN=2m﹣2,
∵四邊形MNFE為正方形,
∴ME=MN,
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2,
分兩種情況:
①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時,解得:m1= 、m2=﹣ (不符合題意,舍去),
當(dāng)m= 時,正方形的面積為(2 ﹣2)2=24﹣8 ;
②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時,解得:m3=2+ ,m4=2﹣ (不符合題意,舍去),
當(dāng)m=2+ 時,正方形的面積為[2(2+ )﹣2]2=24+8 ;
綜上所述,正方形的面積為24+8 或24﹣8
(3)
解:設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b,
把點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入表達(dá)式,得:
,解得: ,
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+3,
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,﹣a2+2a+3),則點(diǎn)N(2﹣a,﹣a2+2a+3),點(diǎn)D(a,﹣a+3),
①點(diǎn)M在對稱軸右側(cè),即a>1,
則|﹣a+3﹣(﹣a2+2a+3)|=a﹣(2﹣a),即|a2﹣3a|=2a﹣2,
若a2﹣3a≥0,即a≤0或a≥3,a2﹣3a=2a﹣2,
解得:a= 或a= <1(舍去);
若a2﹣3a<0,即0≤a≤3,a2﹣3a=2﹣2a,
解得:a=﹣1(舍去)或a=2;
②點(diǎn)M在對稱軸右側(cè),即a<1,
則|﹣a+3﹣(﹣a2+2a+3)|=2﹣a﹣a,即|a2﹣3a|=2﹣2a,
若a2﹣3a≥0,即a≤0或a≥3,a2﹣3a=2﹣2a,
解得:a=﹣1或a=2(舍);
若a2﹣3a<0,即0≤a≤3,a2﹣3a=2a﹣2,
解得:a= (舍去)或a= ;
綜上,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 、2、﹣1、
【解析】(1)待定系數(shù)法求解可得;(2)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),分別表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2,由四邊形MNFE為正方形知ME=MN,據(jù)此列出方程,分類討論求解可得;(3)先求出直線BC解析式,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,﹣a2+2a+3),則點(diǎn)N(2﹣a,﹣a2+2a+3)、點(diǎn)D(a,﹣a+3),由MD=MN列出方程,根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論求解可得.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的確定一次函數(shù)的表達(dá)式,需要了解確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法才能得出正確答案.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),連接AE,將矩形沿AE翻折,使點(diǎn)B落在CD邊F處,連接AF,在AF上取點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OF長為半徑作⊙O與AD相切于點(diǎn)P.若AB=6,BC=3 ,則下列結(jié)論:①F是CD的中點(diǎn);②⊙O的半徑是2;③AE= CE;④S陰影= .其中正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)為B.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M在對稱軸上,且位于頂點(diǎn)上方,設(shè)它的縱坐標(biāo)為m,聯(lián)結(jié)AM,用含m的代數(shù)式表示∠AMB的余切值;
(3)將該拋物線向上或向下平移,使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上.原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,如果OP=OQ,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn),且滿足∠PAB=∠ACP,則線段PB長度的最小值為 .
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【題目】小華和小軍做摸球游戲:A袋裝有編號為1,2,3的三個小球,B袋裝有編號為4,5,6的三個小球,兩袋中的所有小球除編號外都相同.從兩個袋子中分別隨機(jī)摸出一個小球,若B袋摸出小球的編號與A袋摸出小球的編號之差為偶數(shù),則小華勝,否則小軍勝,這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明理由.
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【題目】已知:Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放(點(diǎn)P與點(diǎn)B重合),點(diǎn)F,B(P),C在同一直線上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,∠EFP=90°,如圖②,△EFP從圖①的位置出發(fā),沿BC方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s,EP與AB交于點(diǎn)G;同時,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CD方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s.過點(diǎn)Q作QM⊥BD,垂足為H,交AD于點(diǎn)M,連接AF,F(xiàn)Q,當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動時,△EFQ也停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0<t<6),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,PQ∥BD?
(2)設(shè)五邊形AFPQM的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻t,使S五邊形AFPQM:S矩形ABCD=9:8?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(4)在運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻t,使點(diǎn)M在線段PG的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】在△ABC中,M是AC邊上的一點(diǎn),連接BM.將△ABC沿AC翻折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處,當(dāng)DM∥AB時,求證:四邊形ABMD是菱形.
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【題目】如圖所示,將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個四邊形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,則四邊形ABCD的面積等于cm2 .
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