【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(zhǎng)(OB<OC)是方程x2﹣10x+16=0的兩個(gè)根,且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣2.

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求此拋物線的表達(dá)式;
(3)連接AC、BC,若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合),過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F,連接CE,設(shè)AE的長(zhǎng)為m,△CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
(4)在(3)的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出S的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo),判斷此時(shí)△BCE的形狀;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:解方程x2﹣10x+16=0得x1=2,x2=8

∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,且OB<OC

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8)

又∵拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=﹣2

∴由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0)


(2)

解:∵點(diǎn)C(0,8)在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上

∴c=8,將A(﹣6,0)、B(2,0)代入表達(dá)式,

得:

解得

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2 x+8


(3)

解:依題意,AE=m,則BE=8﹣m,

∵OA=6,OC=8,

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

= ,即 =

∴EF=

過點(diǎn)F作FG⊥AB,垂足為G,

則sin∠FEG=sin∠CAB=

=

∴FG= =8﹣m

∴S=SBCE﹣SBFE

= (8﹣m)×8﹣ (8﹣m)(8﹣m)

= (8﹣m)(8﹣8+m)

= (8﹣m)m

=﹣ m2+4m

自變量m的取值范圍是0<m<8


(4)

解:存在.

理由:∵S=﹣ m2+4m=﹣ (m﹣4)2+8且﹣ <0,

∴當(dāng)m=4時(shí),S有最大值,S最大值=8

∵m=4,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,0)

∴△BCE為等腰三角形.


【解析】(1)先解一元二次方程,得到線段OB、OC的長(zhǎng),也就得到了點(diǎn)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A坐標(biāo);(2)把A、B、C三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式就能求得二次函數(shù)解析式;(3)易得SEFF=SBCE﹣SBFE , 只需利用平行得到三角形相似,求得EF長(zhǎng),進(jìn)而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高;(4)利用二次函數(shù)求出最值,進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo).OC垂直平分BE,那么EC=BC,所求的三角形是等腰三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB=CB,BE=BF,點(diǎn)A,B,C在同一條直線上,∠1=∠2.

(1)證明:△ABE≌△CBF;

(2)若∠FBE=40°,∠C=45°,求∠E的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知正方形OABC,A(4,0),C(0,4),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿ABCO的路線勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為t,OAP的面積為S,則下列能大致反映St之間關(guān)系的圖象是(  )

A. (A) B. (B) C. (C) D. (D)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀材料.

我們知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2結(jié)果等于多少呢?

在圖1所示三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12,第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22,…;第nn個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+n+…+n,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈,所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n2

(規(guī)律探究)

將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為   ,由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+…+n2)=   ,因此,12+22+32+…+n2=   

(解決問題)

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算:的結(jié)果為   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,都是由邊長(zhǎng)為 1 的正方體疊成的立體圖形,例如第個(gè)圖形由 1 個(gè)正方體疊成,第個(gè)圖形由 4 個(gè)正方體疊成,個(gè)圖形由 10 個(gè)正方體疊成依次規(guī)律,個(gè)圖形由( )個(gè)正方形疊成.

A. 86 B. 87 C. 85 D. 84

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】七年級(jí)班想買一些運(yùn)動(dòng)器材供班上同學(xué)陽光體育活動(dòng)使用,班主任安排班長(zhǎng)去商店買籃球和排球下面是班長(zhǎng)與售貨員的對(duì)話:

班長(zhǎng)阿姨,您好! 售貨員同學(xué),你好,想買點(diǎn)什么?

根據(jù)這段對(duì)話,你能算出籃球和排球的單價(jià)各是多少嗎?

六一兒童節(jié)店里搞活動(dòng)有兩種套餐,1、套裝打折:五個(gè)籃球和五個(gè)排球?yàn)橐惶籽b套裝打 八折:2、滿減活動(dòng):999 100,1999 200;兩種活動(dòng)不重復(fù)參與,學(xué)校需要 15個(gè)籃球,13 個(gè)排球作為獎(jiǎng)品,請(qǐng)問如何安排購買更劃算?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知AOB和一條定長(zhǎng)線段a,AOB內(nèi)找一點(diǎn)P,使點(diǎn)POA,OB的距離都等于a,作法如下:

①在AOB內(nèi)作OB的垂線段NH,使NH=a,H為垂足;②過NNMOB;③作AOB的平分線OP,NM交于點(diǎn)P;④點(diǎn)P即為所求.其中③的依據(jù)是(  )

A. 平行線之間的距離處處相等 B. 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

C. 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 D. 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E點(diǎn),DF⊥AC于F點(diǎn),有下列結(jié)論:①BD=DC;②DE=DF;③AD上任意一點(diǎn)到AB,AC的距離相等;④AD上任意一點(diǎn)到B點(diǎn)與C點(diǎn)的距離不等.其中正確的是(  )

A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】先閱讀,再解決問題,例題:若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求mn的值.

解:∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴(m+n)2+(n﹣3)2=0

∴m+n=0,n﹣3=0

∴n=3,m=﹣3

(1)x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值

(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c都是正整數(shù),且滿足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,請(qǐng)問△ABC是怎樣形狀的三角形?

(3)根據(jù)以上的方法是說明代數(shù)式:x2+4x+y2﹣8y+21的值一定是一個(gè)正數(shù).

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