Question

（2012•西青區(qū)一模）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部一點(diǎn)P，OP=10，在∠AOB的邊OA、OB上分別有點(diǎn)Q、R（P、Q、R三點(diǎn)不在同一直線上，Q、R不同于點(diǎn)O），則△PQR周長的最小值為

10

2

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)是E，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是F，當(dāng)點(diǎn)R、Q在EF上時(shí)，△PQR的周長=PQ+QR+PR=EF，此時(shí)周長最�。�

解答：解：如圖，作出點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)E，作出點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
則PQ=EQ，PR=RF，
則△PQR的周長=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF．
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=45°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，即△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=

2

OP=10

2

．
∴△PQR的周長的最小值為10

2

．
故答案為：10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．