【題目】綜合與探究
如圖1所示,直線y=x+c與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A,C.
(1)求拋物線的解析式
(2)點E在拋物線的對稱軸上,求CE+OE的最小值;
(3)如圖2所示,M是線段OA的上一個動點,過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N
①若以C,P,N為頂點的三角形與△APM相似,則△CPN的面積為 ;
②若點P恰好是線段MN的中點,點F是直線AC上一個動點,在坐標平面內是否存在點D,使以點D,F(xiàn),P,M為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
注:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(﹣,)
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)CE+OE的最小值為5;(3)或4;存在,當PF=FM時,點D在MN垂直平分線上,則D();當PM=PF時,由菱形性質點D坐標為(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣);當MP=MF時,M、D關于直線y=﹣x+4對稱,點D坐標為(﹣4,3).
【解析】
(1)把已知點坐標代入解析式;
(2)取點C關于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′,由兩點之間線段最短,最小值可得;
(3)①由已知,注意相似三角形的分類討論.
②設出M坐標,求點P坐標.注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對稱軸對稱得到的.本題即為研究△CPN為等腰三角形的情況.
解:(1)將A(﹣4,0)代入y=x+c
∴c=4
將A(﹣4,0)和c=4代入y=﹣x2+bx+c
∴b=﹣3
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4
(2)做點C關于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′,連OC′,交直線l于點E.
連CE,此時CE+OE的值最。
∵拋物線對稱軸位置線x=﹣
∴CC′=3
由勾股定理OC′=5
∴CE+OE的最小值為5
(3)①當△CNP∽△AMP時,
∠CNP=90°,則NC關于拋物線對稱軸對稱
∴NC=NP=3
∴△CPN的面積為
當△CNP∽△MAP時
由已知△NCP為等腰直角三角形,∠NCP=90°
過點C作CE⊥MN于點E,設點M坐標為(a,0)
∴EP=EC=﹣a,
則N為(a,﹣a2﹣3a+4),MP=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a)=﹣a2﹣a+4
∴P(a,﹣a2﹣a+4)
代入y=x+4
解得a=﹣2
∴△CPN的面積為4
故答案為:或4
②存在
設M坐標為(a,0)
則N為(a,﹣a2﹣3a+4)
則P點坐標為(a,)
把點P坐標代入y=﹣x+4
解得a1=﹣4(舍去),a2=﹣1
當PF=FM時,點D在MN垂直平分線上,則D(,)
當PM=PF時,由菱形性質點D坐標為(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣)
當MP=MF時,M、D關于直線y=﹣x+4對稱,點D坐標為(﹣4,3)
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【題目】如圖,為的直徑延長線上的一點,與相切,切點為,點是上一點,連接.已知.下列結論:
與相切;四邊形是菱形;;.
其中正確的個數為( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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【題目】如圖,∠ABC=∠ABD,還應補充一個條件,才能推出△ABC≌△ABD.補充下列其中一個條件后,不一定能推出△ABC≌△ABD的是( 。
A. BC=BD B. AC=AD C. ∠ACB=∠ADB D. ∠CAB=∠DAB
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【題目】如圖,將矩形置于平面直角坐標系中,點的坐標為,點在軸上,點在上,將矩形沿折疊壓平,使點落在坐標平面內,設點的對應點為點.若拋物線(且為常數)的頂點落在的內部,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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【題目】△ABC的三個頂點的位置如圖所示,現(xiàn)將△ABC平移,使點A變換為點A1,點B1、C1分別是B、C的對應點.
(1)請畫出平移后的△A1B1C1(不寫畫法);
(2)將△A1B1C1繞點C1順時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A2B2C1(不寫畫法)
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【題目】如圖,矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AE⊥BD于E,若∠OAE=24°,則∠BAE的度數是( 。
A. 24° B. 33° C. 42° D. 43°
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