Question

18．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與坐標軸分別交于點點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動．
（1）求該拋物線的解析式及點E的坐標；
（2）若D點運動的時間為t，△CED的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出△CED的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；再令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，解方程可得點E的坐標；
（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8-t，然后令y=0，點E的坐標為（-2，0），進而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式為：S=-$\frac{1}{2}$t²+5t，然后轉化為頂點式即可求出最值為：S_最大=$\frac{25}{2}$．

解答 解：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{-\frac{1}{2}×64+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=3，c=8，
故拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8，
∵點A（0，8）、B（8，0），
∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，
解得：x₁=8，x₂=-2，
∵點E在x軸的負半軸上，
∴點E（-2，0），
∴OE=2；
（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，
∴OD=8-t，
∴DE=OE+OD=10-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•DE•OC=$\frac{1}{2}$•（10-t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+5t，
即S=-$\frac{1}{2}$t²+5t=-$\frac{1}{2}$（t-5）²+$\frac{25}{2}$，
∴當t=5時，S_最大=$\frac{25}{2}$．

點評 此題考查了二次函數的綜合題，解題的關鍵是熟練以下知識點：用待定系數法求函數關系式，函數的最值問題，三角形的面積公式，綜合性較強，難度中等．