【題目】閱讀新知:移項(xiàng)且合并同類項(xiàng)之后,只含有偶次項(xiàng)的四次方程稱作雙二次方程.其一般形式為ax4bx2c=0(a≠0),一般通過換元法解之,具體解法是設(shè) x2y,則原四次方程化為一元二次方程:ay2byc=0,解出y之后代入x2y,從而求出x的值.

例如解:4x4-8x2+3=0

解:設(shè)x2y,則原方程可化為:4y2-8y+3=0

a=4,b=-8,c=3

b2-4ac=(-8)2-4×4×3=16>0

y

y1, y2

∴當(dāng)y1時,x2. ∴x1,x2=-;

當(dāng)y1時,x2. ∴x3,x4=-

小試牛刀:請你解雙二次方程:x4-2x2-8=0

歸納提高:

思考以上解題方法,試判斷雙二次方程的根的情況,下列說法正確的是____________(選出所有的正確答案)

①當(dāng)b2-4ac≥0時,原方程一定有實(shí)數(shù)根;

②當(dāng)b2-4ac<0時,原方程一定沒有實(shí)數(shù)根;

③當(dāng)b2-4ac≥0,并且換元之后的一元二次方程有兩個正實(shí)數(shù)根時,原方程有4個實(shí)數(shù)根,換元之后的一元二次方程有一個正實(shí)數(shù)根一個負(fù)實(shí)數(shù)根時,原方程有2個實(shí)數(shù)根;

④原方程無實(shí)數(shù)根時,一定有b2-4ac<0.

【答案】x1=-2,x2=2;②③

【解析】試題分析:先設(shè)y=x2,則原方程變形為y2-2y-8=0,運(yùn)用因式分解法解得y1=-2,y2=4,再把y=-24分別代入y=x2得到關(guān)于x的一元二次方程,然后解兩個一元二次方程,最后確定原方程的解.

根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷①②③④

試題解析:x4-2x2-8=0

設(shè)y=x2,則原方程變?yōu)椋?/span>y2-2y-8=0.

分解因式,得(y+2)(y-4)=0,

解得,y1=-2,y2=4,

當(dāng)y=-2時,x2=-2,x2+2=0,=0-4×2<0,此方程無實(shí)數(shù)解;

當(dāng)y=4時,x2=4,解得x1=-2,x2=2,

所以原方程的解為x1=-2,x2=2.

根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷②③;

如:x4+4x2+3=0,雖然=b2-4ac=16-12=4>0,但原方程可化為(x2+1)(x2+3)=0,明顯,此方程無解;

所以,①④錯誤,

故答案為②③

【方法總結(jié)】本題考查了換元法解一元二次方程:當(dāng)所給方程是雙二次方程時,可考慮用換元法降次求解.

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(1)當(dāng)t=5秒時,點(diǎn)P走過的路徑長為_________;當(dāng)t=_________秒時,點(diǎn)P與點(diǎn)E重合;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動時,連結(jié)PE,并過點(diǎn)E作AB的垂線,垂足為H. 若以C、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△EFH相似,試求線段EH的值;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在折線AC-CB-BA上運(yùn)動時,作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)Q.在運(yùn)動過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值.

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