【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0).

(1)求b、c.

(2)如圖1,在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D,使得三角形BCD的面積最大?若存在,求出D點坐標,求出三角形BCD的面積最大值;若不存在,請說明理由.

(3)如圖2,拋物線的對稱軸與拋物線交于點P,與直線BC相交于點M,連接PB.問在直線BC下方的拋物線上是否存在否存在點Q,使得△QMB與△PMB的面積相等?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2),),;(3)Q1),Q2-

【解析】

試題分析:(1)把A(-1,0)、B(3,0)兩點代入y=-x2+bx+c,即可求出拋物線的解析式;

(2)設(shè)D點坐標為(t,-t2+2t+3),過點D作DH⊥x軸于H,根據(jù)=-t2+t,再利用配方法即可求出D點坐標及△BCD面積的最大值;

(3)設(shè)PM與x軸交于點E,求出過點E與BC平行的直線EQ解析式為y=﹣x+1,解方程組,即可得出點Q的坐標.

試題解析:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),

,

解得,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)如圖1,設(shè)D點坐標為(t,﹣t2+2t+3),過點D作DH⊥x軸于H,

=(﹣t2+2t+3+3)t+(3﹣t)(﹣t2+2t+3)﹣×3×3

=﹣t2+t

=﹣(t﹣2+,

∵﹣<0,

∴當t=時,D點坐標是(),△BCD面積的最大值是;

(3)如圖2,設(shè)PM與x軸交于點E,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴P點的坐標為(1,4),E點的坐標為(1,0).

∵B(3,0),C(0,3),

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,

∴當x=1時,y=2,

∴M點的坐標為(1,2),

∴PM=ME=2,BM為△BPE的中線,

過E作BC的平行線,交拋物線于點Q,則,

∵E(1,0),直線BC的解析式為y=﹣x+3,EQ∥BC,

∴直線EQ的解析式為y=﹣x+1.

,

解得,或,

∴點Q的坐標為Q1),Q2,﹣),

∴在直線BC下方的拋物線上存在點Q,使得△QMB與△PMB的面積相等,此時點Q的坐標為Q1,),Q2,﹣).

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