Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E是上的一個動點(不與A、B重合)，點F是上的一點，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點G、H，且∠EOF＝90°，有下列結(jié)論： ①； ②△OGH是等腰直角三角形； ③四邊形OGBH的面積不隨點E位置的變化而變化； ④△GBH周長的最小值為.其中錯誤的是______．(把你認(rèn)為錯誤結(jié)論的序號填上)

Answer 1

【答案】④

【解析】分析：連接OC、OB、BE，對于①，根據(jù)ASA可證△BOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，根據(jù)等弦對等弧得到，可以判斷①；

對于②，根據(jù)SAS可證△BOG≌△COH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠GOH=90°，OG=OH，根據(jù)等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判斷②；

過O作OM⊥BC，ON⊥AB，對于③，通過證明△HOM≌△GON，可得四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，可以判斷③；

對于④，根據(jù)△BOG≌△COH可知BG=CH，則BG+BH=BC=4，設(shè)BG=x，則BH=4-x，根據(jù)勾股定理得到GH，可以求得其最小值，可以判斷④.

詳解：①如圖所示，連接OC、OB、BE.

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

∵在△BOE與△COF中，，

∴△BOE≌△COF，

∴BE=CF，

∴，①正確；

②∵BE=CF，

∴△BOG≌△COH.

∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，

∴∠GOH=90°，OG=OH，

∴△OGH是等腰直角三角形，②正確.

③如圖所示，過O作OM⊥BC，ON⊥AB.

∵△HOM≌△GON，

∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③正確；

④∵△BOG≌△COH，

∴BG=CH，

∴BG+BH=BC=4，

設(shè)BG=x，則BH=4-x，

則GH=，∴其最小值為4+2，④錯誤.

故答案為④.