Question

5．已知一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點．
（1）求a，b的值；
（2）在線段AB上任取一點P（x，y），過點P分別作x軸與y軸的垂線段，垂足分別為M，N，求矩形OMPN的面積S，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）因為一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點，根據(jù)待定系數(shù)法可求a，b的值；
（2）因為四邊形OMPN是矩形，點P在直線y=-x+3上，PN=t，所以P（t，-t+3），即PM=-t+3，而S=PN•PM，由此即可得到S與t的函數(shù)關系式，再配方可求S的最大值．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

（2）∵四邊形OMPN是矩形，
∵PN⊥y軸，PM⊥x軸，
∵點P在直線y=-x+3上，PN=t，
∴P（t，-t+3），
∴PM=-t+3，
∴S=t（-t+3）=-（t-1.5）²+2.25，
故S的最大值是2.25．

點評 此題考查了二次函數(shù)的應用，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解決本題這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．