(1)問(wèn)題探究
數(shù)學(xué)課上,李老師給出以下命題,要求加以證明.
如圖1,在△ABC中,M為BC的中點(diǎn),且MA=BC,求證∠BAC=90°.
同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考、討論、交流,得到以下證明思路:
思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理…
思路二 延長(zhǎng)AM到D使DM=MA,連接DB,DC,利用矩形的知識(shí)…
思路三 以BC為直徑作圓,利用圓的知識(shí)…
思路四…
請(qǐng)選擇一種方法寫(xiě)出完整的證明過(guò)程;
(2)結(jié)論應(yīng)用
李老師要求同學(xué)們很好地理解(1)中命題的條件和結(jié)論,并直接運(yùn)用(1)命題的結(jié)論完成以下兩道題:
①如圖2,線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,點(diǎn)D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求證:直線(xiàn)BD是⊙0的切線(xiàn);
②如圖3,△ABC中,M為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,E在A(yíng)B邊上,且EM=DM,連接DE,CE,如果∠A=60°,請(qǐng)求出△ADE與△ABC面積的比值.

【答案】分析:(1)根據(jù)條件可以得出BM=CM=MA,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠B,∠2=∠C,由三角形內(nèi)角和定理就可以求出結(jié)論;
(2)①連接OD,CD,由圓的性質(zhì)就可以得出AO=OD=OC=a,再由條件就可以得出△ODC是等邊三角形,由外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出∠BDC=30°,從而得出∠ODB=90°而得出結(jié)論;
②運(yùn)用(1)的結(jié)論可以得出∠ADB=∠ACE=90°,從而有△ADB∽△AEC,由相似的性質(zhì)可以得出△ADE∽△ABC,由相似三角形的面積之比等于相似比平方,最后由銳角三角形函數(shù)值就可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)問(wèn)題研究,∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),
∴BM=CM=BC.
∵M(jìn)A=BC,
∴BM=CM=MA,
∴∠1=∠B,∠2=∠C.
∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°,
∴2∠1+2∠2=180°,
∴∠1+∠2=90°,
即∠BAC=90°;

(2)①連接OD,CD,
∴AO=OD=OC=a,
∴∠BOD=2∠A=60°,
∴△ODC是等邊三角形,
∴CD=OC=a,∠DCO=∠CDO=60°.
∵OB=2a,
∴BC=a,
∴BC=DC,
∴∠B=∠BDC,
∴2∠BDC=60°,
∴∠BDC=30°,
∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°,
∴直線(xiàn)BD是⊙0的切線(xiàn)
②∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,
∴DM=BC.
∵EM=DM,
∴EM=BC,
∴∠BEC=90°.
∴∠ADB=∠ACE=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ADB∽△AEC,
,

∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
=(2
∵cos∠A=,且∠A=60°,

=
∴△ADE與△ABC面積的比值為
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,切線(xiàn)的判定方法的運(yùn)用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)值求解是難點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)學(xué)課上,張老師給出了問(wèn)題:
如圖(1),△ABC為等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上,動(dòng)點(diǎn)P邊BC上,若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng),連接AP,BD交于點(diǎn)Q,兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP=BD成立嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的解題思路:由△ABP≌△BCD,從而得出AP=BD.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步探究:
(1)小穎提出:如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上,動(dòng)點(diǎn)P邊BC上,”改為“動(dòng)點(diǎn)D,P在射線(xiàn)CA和射線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)”,其他條件不變,如圖(2)所示,兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠BQP的大小保持不變.請(qǐng)你利用圖(2)的情形,求證:∠BQP=60°;
(2)小華提出:如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),連接PD交BC于E”,其他條件不變,如圖(3),則動(dòng)點(diǎn)D,P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,DE始終等于PE.你認(rèn)為小華的觀(guān)點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

29、閱讀探究題:數(shù)學(xué)課上,張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識(shí):有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形,如圖1所示:在△ABC中,若AB=AC,則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C.此時(shí),張老師出示了問(wèn)題:如圖2,四邊形ABCD是正方形(正方形的四邊相等,四個(gè)角都是直角),點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的解題思路:在線(xiàn)段AB上取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,在此基礎(chǔ)上,請(qǐng)聰明的同學(xué)們作進(jìn)一步的研究:
(1)求出角∠AME的度數(shù);
(2)你能在小明的思路下證明結(jié)論嗎?
(3)小穎提出:如圖3,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀(guān)點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•漳州)(1)問(wèn)題探究
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12
BC,求證∠BAC=90°.
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①如圖2,線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,點(diǎn)D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求證:直線(xiàn)BD是⊙0的切線(xiàn);
②如圖3,△ABC中,M為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,E在A(yíng)B邊上,且EM=DM,連接DE,CE,如果∠A=60°,請(qǐng)求出△ADE與△ABC面積的比值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(福建漳州卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

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思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理…

思路二 延長(zhǎng)AM到D使DM=MA,連接DB,DC,利用矩形的知識(shí)…

思路三 以BC為直徑作圓,利用圓的知識(shí)…

思路四…

請(qǐng)選擇一種方法寫(xiě)出完整的證明過(guò)程;

(2)結(jié)論應(yīng)用

李老師要求同學(xué)們很好地理解(1)中命題的條件和結(jié)論,并直接運(yùn)用(1)命題的結(jié)論完成以下兩道題:

①如圖2,線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,點(diǎn)D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求證:直線(xiàn)BD是⊙O的切線(xiàn);

②如圖3,△ABC中,M為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,E在A(yíng)B邊上,且EM=DM,連接DE,CE,如果∠A=60°,請(qǐng)求出△ADE與△ABC面積的比值.

 

 

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