Question

（1）問題探究

數(shù)學課上，李老師給出以下命題，要求加以證明．

如圖1，在△ABC中，M為BC的中點，且MA=BC，求證∠BAC=90°．

同學們經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下證明思路：

思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理…

思路二 延長AM到D使DM=MA，連接DB，DC，利用矩形的知識…

思路三 以BC為直徑作圓，利用圓的知識…

思路四…

請選擇一種方法寫出完整的證明過程；

（2）結論應用

李老師要求同學們很好地理解（1）中命題的條件和結論，并直接運用（1）命題的結論完成以下兩道題：

①如圖2，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點A，C，點D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求證：直線BD是⊙O的切線；

②如圖3，△ABC中，M為BC的中點，BD⊥AC于D，E在AB邊上，且EM=DM，連接DE，CE，如果∠A=60°，請求出△ADE與△ABC面積的比值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）問題研究，證明見解析

（2）①證明見解析

②。

【解析】

試題分析：（1）應用思路一：根據(jù)條件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形內(nèi)角和定理就可以求出結論。

（2）①連接OD，CD，由圓的性質(zhì)就可以得出AO=OD=OC=a，再由條件就可以得出△ODC是等邊三角形，由外角與內(nèi)角的關系就可以求出∠BDC=30°，從而得出∠ODB=90°而得出結論。

②運用（1）的結論可以得出∠ADB=∠ACE=90°，從而有△ADB∽△AEC，由相似的性質(zhì)可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面積之比等于相似比平方，最后由銳角三角形函數(shù)值就可以求出結論。　

解：（1）問題研究，應用思路一：

∵M為BC的中點，∴BM=CM=BC。

∵MA=BC，∴BM=CM=MA。

∴∠1=∠B，∠2=∠C。

∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°，∴2∠1+2∠2=180°。

∴∠1+∠2=90°，即∠BAC=90°。

（2）①證明：連接OD，CD，

∵∠DAB=30°，OA=a，

∴AO=OD=OC=a，∠BOD=2∠A=60°。

∴△ODC是等邊三角形。

∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°。

∵OB=2a，∴BC=a。∴BC=DC�！唷螧=∠BDC。

∴2∠BDC=60°。∴∠BDC=30°�！唷螧DO=∠BDC+∠CDO=90°。

∵OD是⊙O的半徑，∴直線BD是⊙O的切線。

②∵M為BC的中點，BD⊥AC于D，∴DM=BC。

∵EM=DM，∴EM=BC。∴∠BEC=90°�！唷螦DB=∠ACE=90°。

∵∠A=∠A，∴△ADB∽△AEC。

∴�！�。

∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC�！�。

∵cos∠A=，且∠A=60°，∴�！�。

∴△ADE與△ABC面積的比值為。