(2013•漳州)(1)問(wèn)題探究
數(shù)學(xué)課上,李老師給出以下命題,要求加以證明.
如圖1,在△ABC中,M為BC的中點(diǎn),且MA=
12
BC,求證∠BAC=90°.
同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考、討論、交流,得到以下證明思路:
思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理…
思路二 延長(zhǎng)AM到D使DM=MA,連接DB,DC,利用矩形的知識(shí)…
思路三 以BC為直徑作圓,利用圓的知識(shí)…
思路四…
請(qǐng)選擇一種方法寫(xiě)出完整的證明過(guò)程;
(2)結(jié)論應(yīng)用
李老師要求同學(xué)們很好地理解(1)中命題的條件和結(jié)論,并直接運(yùn)用(1)命題的結(jié)論完成以下兩道題:
①如圖2,線段AB經(jīng)過(guò)圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,點(diǎn)D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求證:直線BD是⊙0的切線;
②如圖3,△ABC中,M為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,E在AB邊上,且EM=DM,連接DE,CE,如果∠A=60°,請(qǐng)求出△ADE與△ABC面積的比值.
分析:(1)根據(jù)條件可以得出BM=CM=MA,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠B,∠2=∠C,由三角形內(nèi)角和定理就可以求出結(jié)論;
(2)①連接OD,CD,由圓的性質(zhì)就可以得出AO=OD=OC=a,再由條件就可以得出△ODC是等邊三角形,由外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出∠BDC=30°,從而得出∠ODB=90°而得出結(jié)論;
②運(yùn)用(1)的結(jié)論可以得出∠ADB=∠AEC=90°,從而有△ADB∽△AEC,由相似的性質(zhì)可以得出△ADE∽△ABC,由相似三角形的面積之比等于相似比平方,最后由銳角三角形函數(shù)值就可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)問(wèn)題研究,∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),
∴BM=CM=
1
2
BC.
∵M(jìn)A=
1
2
BC,
∴BM=CM=MA,
∴∠1=∠B,∠2=∠C.
∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°,
∴2∠1+2∠2=180°,
∴∠1+∠2=90°,
即∠BAC=90°;

(2)①連接OD,CD,
∴AO=OD=OC=a,
∴∠BOD=2∠A=60°,
∴△ODC是等邊三角形,
∴CD=OC=a,∠DCO=∠CDO=60°.
∵OB=2a,
∴BC=a,
∴BC=DC,
∴∠B=∠BDC,
∴2∠BDC=60°,
∴∠BDC=30°,
∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°,
∴直線BD是⊙0的切線
②∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,
∴DM=
1
2
BC.
∵EM=DM,
∴EM=
1
2
BC,
∴∠BEC=90°.
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ADB∽△AEC,
AD
AE
=
AB
AC
,
AD
AB
=
AE
AC

∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
S△ADE
S△ABC
=(
AD
AB
2
∵cos∠A=
AD
AB
,且∠A=60°,
AD
AB
=
1
2

S△ADE
S△ABC
=
1
4

∴△ADE與△ABC面積的比值為
1
4
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,切線的判定方法的運(yùn)用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)值求解是難點(diǎn).
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