Question

【題目】已知四邊形和四邊形都是正方形，且.

（1）如圖1，連接.求證：；

（2）如圖2，將正方形繞著點旋轉到某一位置時恰好使得，.求的度數；

（3）在（2）的條件下，當正方形的邊長為時，請直接寫出正方形的邊長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)根據條件，證明，即可得到結論；

(2)連接，由，，得：，由，得：，，，進而，可得：，即可得到結論；

(3)過點G作GM⊥BC，交BC的延長線于點M，設CM=x，則GM=x，CG=x，在在RtBGM中，根據勾股定理，列出方程，即可求解.

（1）∵四邊形和是正方形

∴，，，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）連接，如圖2，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴；

（3）過點G作GM⊥BC，交BC的延長線于點M，如圖2，

∵，

∴∠GCM=45°，

設CM=x，則GM=x，CG=x，

∵正方形的邊長為，

∴BC=，BG=BD=2，

∵在RtBGM中，BM2+GM2=BG2，

∴，解得：，（舍）

∴，

即：正方形的邊長是：.